Determinar:
sabendo que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=e{-x},\operatorname{sen}(3x+5y)+\ln(z2+4). Isso é conteúdo de derivadas parciais e vamos usar a regra do produto, regra da cadeia e regra do quociente conforme cada caso.
Passo 2
Para obter
, note que só o primeiro termo depende de x. Aplicando regra do produto em
: derivada de
dá
e derivada de
dá
. Assim obtemos
Passo 3
Para
, só o primeiro termo varia com y. Usamos regra da cadeia em
: derivada é
, e o fator
fica intacto.
Passo 4
Para
, só o segundo termo
depende de z. Aplicamos derivada de logaritmo:
com
, logo
.
Passo 5
Para
, derivamos
usando a regra do quociente:
Passo 6
Para
, primeiro calculamos
derivando
em y, depois aplicamos derivada em x ao resultado, usando produto e cadeia.
Resposta
As derivadas parciais são as seguintes: