Determinar:
partial rpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z, partial^2 fpartial z^2, partial^3 fpartial x partial y partial y sabendo que f(x, y, z)=e^-x sen(3 x+5 y)+ln (z^2+4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=e{-x},\operatorname{sen}(3x+5y)+\ln(z2+4). Isso é conteúdo de derivadas parciais e vamos usar a regra do produto, regra da cadeia e regra do quociente conforme cada caso.

Passo 2

Para obter partial fpartial x, note que só o primeiro termo depende de x. Aplicando regra do produto em e^-x,sen(3x+5y): derivada de e^-x -e^-x e derivada de sen(3x+5y) cos(3x+5y)cdot3. Assim obtemos

Passo 3

Para partial fpartial y, só o primeiro termo varia com y. Usamos regra da cadeia em sen(3x+5y): derivada é cos(3x+5y)cdot5, e o fator e^-x fica intacto.

Passo 4

Para partial fpartial z, só o segundo termo ln(z^2+4) depende de z. Aplicamos derivada de logaritmo: ddzln(u)=u'u com u=z^2+4, logo u'=2z.

Passo 5

Para partial^2 fpartial z^2, derivamos 2zz^2+4 usando a regra do quociente:

Passo 6

Para partial^3 fpartial x,partial y^2, primeiro calculamos fyy derivando fy=5e^-xcos(3x+5y) em y, depois aplicamos derivada em x ao resultado, usando produto e cadeia.

Resposta

As derivadas parciais são as seguintes:
partial fpartial x=-e^-x,sen(3x+5y)+3e^-x,cos(3x+5y)
partial fpartial y=5e^-x,cos(3x+5y)
partial fpartial z=2zz^2+4
partial^2 fpartial z^2=8-2z^2(z^2+4)^2
partial^3 fpartial x,partial y^2=25e^-x,sen(3x+5y)-75e^-x,cos(3x+5y)

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