Determinar a perda de carga em uma tubulação de 150 mm de diâmetro e 30 m de comprimento, na qual escoa glicerina \left(\mu=9,6 \times 10^{-1} \mathrm{~N} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ; \rho=1258 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}\right) com velocidade de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) determine a perda de carga na tubulação, (b) o gradiente de pressão da tubulação, (c) a tensão de cisalhamento na parede da tubulação, (d) a equação apropriada para graficar o perfil de velocidade e(e) o valor da velocidade para $r=R / 2.

Passo 1

O enunciado trata de escoamento internamente laminar de glicerina em tubo de diâmetro D=0,150,m e comprimento L=30,m, com velocidade média V=4,m/s, viscosidade dinâmica \mu=9,6\times10^{-1}, N\cdot s/ m^{2} e densidade \rho=1258,kg/ m^{3}. Vamos calcular (a) a perda de carga (carga piezométrica), (b) o gradiente de pressão, (c) a tensão de cisalhamento na parede, (d) a expressão do perfil de velocidade e (e) o valor de u em r=R/2.

Passo 2

Calculamos o número de Reynolds para verificar o regime
\mathrm{Re} = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{1258\cdot4\cdot0,150}{0,96} \approx 786<2300,
logo o escoamento é laminar.

Passo 3

Para escoamento laminar em tubo, o fator de atrito é
f = \frac{64}{\mathrm{Re}} = \frac{64}{786} \approx 0{,}0814.

Passo 4

A perda de carga (carga de atrito) em metros de coluna de fluido é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g} =0{,}0814\;\frac{30}{0{,}150}\;\frac{4^2}{2\cdot9{,}81} \approx 13{,}3\text{ m}.

Passo 5

A queda de pressão total é \Delta P=\rho g\,h_f e o gradiente é \Delta P/L:
\Delta P =1258\cdot9{,}81\cdot13{,}3 \approx1,64\times10^5\text{ Pa},
\frac{\Delta P}{L}\approx \frac{1,64\times10^5}{30} \approx5{,}46\times10^3\text{ Pa/m}.

Passo 6

A tensão de cisalhamento na parede vale
\tau_w = \frac{f\,\rho\,V^2}{8} = \frac{0{,}0814\cdot1258\cdot4^2}{8} \approx205\text{ Pa}.

Passo 7

Em escoamento laminar plenamente desenvolvido, o perfil de velocidade é parabólico:
u(r)=U_{\max}\Bigl[1-\bigl(\tfrac{r}{R}\bigr)^2\Bigr],
com U_{\max}=2\,V, R=D/2. Logo
u(r)=2\,V\Bigl[1-\bigl(\tfrac{r}{R}\bigr)^2\Bigr].

Passo 8

Para r=R/2:
u\bigl(R/2\bigr) =2\cdot4\Bigl[1-\bigl(\tfrac12\bigr)^2\Bigr] =8\cdot\bigl(1-0,25\bigr) =6\text{ m/s}.

Resposta

(a) h_f\approx13{,}3 m
(b) \Delta P/L\approx5{,}46\times10^3 Pa/m
(c) \tau_w\approx205 Pa
(d) u(r)=2\,V\bigl[1-(r/R)^2\bigr]
(e) u(R/2)=6 m/s

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