Um forno cilíndrico é fabricado com material cuja condutividade térmica é de 1 Btu / hft ^circ F e possui raio interno igual a 1 ft e raio externo igual a 2 ft . A altura do forno é de 6 ft . Qual deve ser a espessura de uma camada de material isolante, que possui uma condutividade térmica de 0,2 Btu / hft ^circ F, capaz de, envolvendo o forno, reduzir o fluxo de calor para 60% do fluxo inicial, mantidas inalteradas as temperaturas interna e externa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um forno cilíndrico que precisa ser isolado para reduzir o fluxo de calor. O que a gente vai usar aqui são conceitos de condução de calor em cilindros. Vamos precisar entender como o calor passa através de materiais com diferentes condutividades térmicas e calcular a espessura do isolante para conseguir reduzir o fluxo de calor para 60% do que era inicialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de calor $ Q $ através de um cilindro pode ser calculado usando a fórmula:
Q
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica do material,
  • $ L $ é a altura do cilindro,
  • $ T_i $ e $ T_e $ são as temperaturas interna e externa,
  • $ r_i $ e $ r_e $ são os raios interno e externo.

Passo 3

No nosso caso, o forno já tem uma condutividade térmica de $ 1 , Btu/hft^\circF $, raio interno $ r_i = 1 , ft $ e raio externo $ r_e = 2 , ft $, com altura $ L = 6 , ft $. Queremos adicionar uma camada de isolante com condutividade $ k_{isolante} = 0,2 , Btu/hft^\circF $ para reduzir o fluxo de calor para 60% do original.

Passo 4

Para reduzir o fluxo de calor para 60%, precisamos aumentar a resistência térmica total. A resistência térmica $ R $ para condução em cilindros é dada por:
R
O fluxo de calor é inversamente proporcional à resistência térmica ($ Q = \Delta T / R $). Então, para reduzir $ Q $ para 60%, a resistência total $ R_{total} $ precisa aumentar para:
R = ln(reri)2 pi k L

Passo 5

Primeiro, calculamos a resistência térmica inicial do forno:
Rinicial = ln(21)2 pi times 1 times 6 = ln(2)12pi approx 0,69337,699 approx 0,0184 , °F h ft/Btu

Passo 6

Agora, determinamos a resistência térmica total necessária:
Rtotal = 0,01840,6 approx 0,0307 , °F h ft/Btu

Passo 7

A resistência térmica total é a soma da resistência do forno e do isolante:
Rtotal = Rforno + Risolante
Então, a resistência do isolante é:
Risolante = Rtotal - Rforno = 0,0307 - 0,0184 = 0,0123 , °F h ft/Btu

Passo 8

Agora, usamos a fórmula da resistência térmica para o isolante, que tem raio interno $ r_{externo do forno} = 2 , ft $ e raio externo $ r_{novo} = 2 + \Delta r $, onde $ \Delta r $ é a espessura que queremos encontrar:
rexterno do forno = 2 , ft
Simplificando:
rnovo = 2 + De

Passo 9

Agora, resolvemos para $ \ln\left(\frac{2 + \Delta r}{2}\right) $:
ln(2 + De

Passo 10

Exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
$$
\frac{2 + \Delta r}{2} = e^{0,0927} \approx 1,096
$$
Então,
2 + De

Passo 11

Finalmente, encontramos $ \Delta r $:
De

Resposta

A espessura do isolante necessária é de aproximadamente 0,192 pés.

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