Um forno cilíndrico é fabricado com material cuja condutividade térmica é de
e possui raio interno igual a 1 ft e raio externo igual a 2 ft . A altura do forno é de 6 ft . Qual deve ser a espessura de uma camada de material isolante, que possui uma condutividade térmica de
, capaz de, envolvendo o forno, reduzir o fluxo de calor para 60% do fluxo inicial, mantidas inalteradas as temperaturas interna e externa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um forno cilíndrico que precisa ser isolado para reduzir o fluxo de calor. O que a gente vai usar aqui são conceitos de condução de calor em cilindros. Vamos precisar entender como o calor passa através de materiais com diferentes condutividades térmicas e calcular a espessura do isolante para conseguir reduzir o fluxo de calor para 60% do que era inicialmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de calor $ Q $ através de um cilindro pode ser calculado usando a fórmula:
Onde:
- $ k $ é a condutividade térmica do material,
- $ L $ é a altura do cilindro,
- $ T_i $ e $ T_e $ são as temperaturas interna e externa,
- $ r_i $ e $ r_e $ são os raios interno e externo.
Passo 3
No nosso caso, o forno já tem uma condutividade térmica de $ 1 , Btu/hft^\circF $, raio interno $ r_i = 1 , ft $ e raio externo $ r_e = 2 , ft $, com altura $ L = 6 , ft $. Queremos adicionar uma camada de isolante com condutividade $ k_{isolante} = 0,2 , Btu/hft^\circF $ para reduzir o fluxo de calor para 60% do original.
Passo 4
Para reduzir o fluxo de calor para 60%, precisamos aumentar a resistência térmica total. A resistência térmica $ R $ para condução em cilindros é dada por:
O fluxo de calor é inversamente proporcional à resistência térmica ($ Q = \Delta T / R $). Então, para reduzir $ Q $ para 60%, a resistência total $ R_{total} $ precisa aumentar para:
Passo 5
Primeiro, calculamos a resistência térmica inicial do forno:
Passo 6
Agora, determinamos a resistência térmica total necessária:
Passo 7
A resistência térmica total é a soma da resistência do forno e do isolante:
Então, a resistência do isolante é:
Passo 8
Agora, usamos a fórmula da resistência térmica para o isolante, que tem raio interno $ r_{externo do forno} = 2 , ft $ e raio externo $ r_{novo} = 2 + \Delta r $, onde $ \Delta r $ é a espessura que queremos encontrar:
Simplificando:
Passo 9
Agora, resolvemos para $ \ln\left(\frac{2 + \Delta r}{2}\right) $:
Passo 10
Exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
$$
\frac{2 + \Delta r}{2} = e^{0,0927} \approx 1,096
\frac{2 + \Delta r}{2} = e^{0,0927} \approx 1,096
$$
Então,
Passo 11
Finalmente, encontramos $ \Delta r $:
Resposta
A espessura do isolante necessária é de aproximadamente 0,192 pés.