Determinar o período de um pêndulo simples.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o período de um pêndulo simples, ou seja, o tempo que ele leva para completar uma oscilação pequena. O conteúdo envolve mecânica clássica de pequenas oscilações e a segunda lei de Newton em coordenadas angulares. Vamos modelar o pêndulo, obter sua equação de movimento e aplicar a aproximação de pequeno ângulo.

Passo 2

Considere uma massa m presa a uma haste de comprimento L desprezível e sujeita à gravidade g. Seja \theta(t) o ângulo de deslocamento em relação à vertical. O torque em torno do ponto de apoio é
\tau = -\,m g L \,\sin\theta
e o momento de inércia da massa em relação ao ponto de rotação é
I = m L^2.
Pela segunda lei de Newton rotacional, I\,\theta'' = \tau, obtemos
mL^2\,\theta'' + m g L\,\sin\theta = 0.

Passo 3

Para pequenas oscilações em radianos, vale a aproximação
\sin\theta \approx \theta.
Substituindo na equação de movimento, ela se lineariza para
\theta'' + \frac{g}{L}\,\theta = 0,
que é exatamente a equação do movimento harmônico simples com frequência angular \omega dada por
\omega^2 = \frac{g}{L}.

Passo 4

A solução dessa equação é uma oscilação periódica de frequência angular \omega = \sqrt{\tfrac{g}{L}}. O período T está relacionado a \omega por
T = \frac{2\pi}{\omega}
e, portanto,
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.

Resposta

T = 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}

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