Determinar o período de um pêndulo simples.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o período de um pêndulo simples, ou seja, o tempo que ele leva para completar uma oscilação pequena. O conteúdo envolve mecânica clássica de pequenas oscilações e a segunda lei de Newton em coordenadas angulares. Vamos modelar o pêndulo, obter sua equação de movimento e aplicar a aproximação de pequeno ângulo.
Passo 2
Considere uma massa
presa a uma haste de comprimento
desprezível e sujeita à gravidade
. Seja
o ângulo de deslocamento em relação à vertical. O torque em torno do ponto de apoio é
e o momento de inércia da massa em relação ao ponto de rotação é
Pela segunda lei de Newton rotacional,
, obtemos
Passo 3
Para pequenas oscilações em radianos, vale a aproximação
Substituindo na equação de movimento, ela se lineariza para
que é exatamente a equação do movimento harmônico simples com frequência angular
dada por
Passo 4
A solução dessa equação é uma oscilação periódica de frequência angular
. O período
está relacionado a
por
e, portanto,