Determinar o polinômio característico e os autovalores do operador linear T: V V que é definido em uma base u1, cdots, un por T(ui)=lambdai ui, lambdai in R, i=1, cdots, n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o polinômio característico e os autovalores de um operador linear T: V V . A gente está trabalhando com um operador definido numa base u1, cdots, un, onde T(ui) = lambdai ui para cada i = 1, cdots, n . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de matriz de um operador linear, polinômio característico e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de um operador linear T é dado por pT(x) = det(T - xI) , onde I é a matriz identidade. Esse polinômio nos ajuda a encontrar os autovalores de T , que são os valores de x que tornam o determinante zero.

Passo 3

Como o operador T é definido pela relação T(ui) = lambdai ui , na base u1, cdots, un, a matriz de T é uma matriz diagonal com os lambdai na diagonal principal. Ou seja,
[T] = lambda1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan

Passo 4

Agora, vamos calcular T - xI . Subtraindo x na diagonal principal, temos:
T - xI = lambda1 - x & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 - x & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan - x

Passo 5

O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz T - xI . Como é uma matriz diagonal, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto,
det(T - xI) = (lambda1 - x)(lambda2 - x) cdots (lambdan - x)

Passo 6

Esse determinante é exatamente o polinômio característico de T . Então, temos:
pT(x) = (lambda1 - x)(lambda2 - x) cdots (lambdan - x)

Passo 7

Para encontrar os autovalores de T , precisamos resolver a equação pT(x) = 0 . Como o polinômio característico é o produto das expressões (lambdai - x) , os valores que zeram esse polinômio são exatamente os lambdai .

Resposta

O polinômio característico de T é pT(x) = (lambda1 - x)(lambda2 - x) cdots (lambdan - x) e os autovalores de T são lambda1, lambda2, ldots, lambdan .

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