Determinar o polinômio característico e os autovalores do operador linear que é definido em uma base por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o polinômio característico e os autovalores de um operador linear . A gente está trabalhando com um operador definido numa base , onde para cada . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de matriz de um operador linear, polinômio característico e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de um operador linear é dado por , onde é a matriz identidade. Esse polinômio nos ajuda a encontrar os autovalores de , que são os valores de que tornam o determinante zero.
Passo 3
Como o operador é definido pela relação , na base , a matriz de é uma matriz diagonal com os na diagonal principal. Ou seja,
Passo 4
Agora, vamos calcular T - xI . Subtraindo x na diagonal principal, temos:
T - xI = lambda1 - x & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 - x & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan - x
Passo 5
O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz T - xI . Como é uma matriz diagonal, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto,
Para encontrar os autovalores de T , precisamos resolver a equação pT(x) = 0 . Como o polinômio característico é o produto das expressões (lambdai - x) , os valores que zeram esse polinômio são exatamente os lambdai .
Resposta
O polinômio característico de T é pT(x) = (lambda1 - x)(lambda2 - x) cdots (lambdan - x) e os autovalores de T são lambda1, lambda2, ldots, lambdan .