Encontrar, caso existam, os autovalores e subespaços próprios das seguintes transformações lineares, assim como suas multiplicidades algébrica e geométrica.
T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(3 x, 3 y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores (ou autovaloras) e os subespaços próprios de uma transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (3x, 3y) . Além disso, precisamos determinar as multiplicidades algébrica e geométrica desses autovalores. Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente os relacionados a autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são autovalores e autovetores. Um autovalor lambda de uma transformação linear T é um número real tal que existe um vetor não nulo v (chamado de autovetor) que satisfaz a equação:
T(v) = lambda v
No nosso caso, queremos encontrar lambda e v que satisfazem:
T(x, y) = (3x, 3y) = lambda (x, y)

Passo 3

Vamos igualar as componentes correspondentes das duas expressões:
3x = lambda x e 3y = lambda y
Para que essas igualdades valham para algum (x, y) neq (0,0) , precisamos que lambda seja igual a 3, já que x e y podem ser quaisquer valores não nulos. Portanto, o único autovalor é lambda = 3 .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a lambda = 3 . Substituindo lambda na equação T(v) = lambda v :
(3x, 3y) = 3(x, y)
Simplificando:
(3x, 3y) = (3x, 3y)
Isso mostra que qualquer vetor não nulo (x, y) em R^2 satisfaz a equação, ou seja, todos os vetores são autovetores.

Passo 5

Agora, vamos determinar os subespaços próprios associados ao autovalor lambda = 3 . Como qualquer vetor não nulo de R^2 é um autovetor, o subespaço próprio é todo o espaço R^2 .

Passo 6

Vamos falar sobre as multiplicidades. A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico da transformação. No nosso caso, o polinômio característico é:
det(T - lambda I) = det 3 - lambda & 0 0 & 3 - lambda = (3 - lambda)^2
Portanto, lambda = 3 tem multiplicidade algébrica 2.
A multiplicidade geométrica é a dimensão do subespaço próprio correspondente. Como o subespaço próprio é R^2 , a multiplicidade geométrica também é 2.

Resposta

O único autovalor de T é lambda = 3 com multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 2. O subespaço próprio correspondente a lambda = 3 é todo o espaço R^2 .

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