Encontrar, caso existam, os autovalores e subespaços próprios das seguintes transformações lineares, assim como suas multiplicidades algébrica e geométrica. dado por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores (ou autovaloras) e os subespaços próprios de uma transformação linear definida por . Além disso, precisamos determinar as multiplicidades algébrica e geométrica desses autovalores. Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente os relacionados a autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são autovalores e autovetores. Um autovalor de uma transformação linear é um número real tal que existe um vetor não nulo (chamado de autovetor) que satisfaz a equação:
No nosso caso, queremos encontrar e que satisfazem:
Passo 3
Vamos igualar as componentes correspondentes das duas expressões:
Para que essas igualdades valham para algum , precisamos que seja igual a 3, já que e podem ser quaisquer valores não nulos. Portanto, o único autovalor é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a . Substituindo na equação :
Simplificando:
Isso mostra que qualquer vetor não nulo em satisfaz a equação, ou seja, todos os vetores são autovetores.
Passo 5
Agora, vamos determinar os subespaços próprios associados ao autovalor . Como qualquer vetor não nulo de é um autovetor, o subespaço próprio é todo o espaço .
Passo 6
Vamos falar sobre as multiplicidades. A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico da transformação. No nosso caso, o polinômio característico é:
Portanto, lambda = 3 tem multiplicidade algébrica 2.
A multiplicidade geométrica é a dimensão do subespaço próprio correspondente. Como o subespaço próprio é R^2 , a multiplicidade geométrica também é 2.
Resposta
O único autovalor de T é lambda = 3 com multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 2. O subespaço próprio correspondente a lambda = 3 é todo o espaço R^2 .