Sejam T: R^3 P2(R) e G: P2(R) R^3 transformações lineares tais que
[T]B, C=(ccc 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 )
e
[G]C, B=(ccc 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 )
em que B e C são as bases B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) e C=1,1+x, 1+x^2.
  • Determine bases para Ker T e Im T.
  • Determine bases para Ker (G circ T) e Im(G circ T).
  • Determine a matriz de H=3(T circ G)+I dP2(R) com relação à base 1, x, x^2 de P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de Transformações Lineares, que faz parte da Álgebra Linear. Precisamos descobrir algumas propriedades dessas transformações, como os Núcleos (Ker) e as Imagens (Im) delas, além de encontrar uma nova matriz a partir das transformações dadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos como matrizes de transformação, composições de transformações e operações com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as transformações lineares T e G . Elas estão representadas por matrizes nas bases B e C . A base B de R^3 é (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1) e a base C de P2(R) é 1, 1+x, 1+x^2 . As matrizes de T e G são iguais e dadas por:
[T]B, C = [G]C, B = 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0

Passo 3

Vamos primeiro encontrar uma base para o Núcleo de T (Ker T ). O núcleo é o conjunto de todos os vetores v em R^3 que são mapeados para o vetor zero em P2(R) por T . Para isso, resolvemos a equação T(v) = 0 .

Passo 4

Representando T como uma matriz, temos [T]B, C cdot [v]B = 0 . Portanto, precisamos resolver o sistema:
1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0

Passo 5

Vamos montar o sistema de equações:
  1. v1 + 2v2 - v3 = 0
  2. v1 - v3 = 0
  3. v2 = 0
Da terceira equação, v2 = 0 . Substituindo na segunda equação: v1 - v3 = 0 Rightarrow v1 = v3 . Já na primeira equação: v1 + 0 - v3 = 0 , que confirma v1 = v3 .

Passo 6

Isso significa que o núcleo de T é formado por vetores onde v1 = v3 e v2 = 0 . Podemos expressar esses vetores como:
v = v1 0 v1 = v1 1 0 1
Então, uma base para Ker T é 1 0 1 .

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma base para a Imagem de T (Im T ). A imagem é o conjunto de todos os vetores em P2(R) que podem ser obtidos pela transformação T aplicada a vetores de R^3 . Para isso, vemos as colunas da matriz [T]B, C .

Passo 8

As colunas de [T]B, C são:
1 1 0 , 2 0 1 , -1 -1 0
Vamos verificar se essas colunas são lineares independentes. Se forem, elas formam uma base para Im T .

Passo 9

Colocando as colunas como vetores em um sistema, temos:
a 1 1 0 + b 2 0 1 + c -1 -1 0 = 0 0 0
Resolvendo, obtemos as equações:
  1. a + 2b - c = 0
  2. a - c = 0
  3. b = 0
Da terceira equação, b = 0 . Substituindo na segunda, a - c = 0 Rightarrow a = c . Substituindo na primeira: a + 0 - a = 0 , que é sempre verdadeiro. Portanto, as colunas são linearmente dependentes.

Passo 10

Como as colunas são linearmente dependentes, podemos retirar uma coluna que é combinação das outras. Observamos que a terceira coluna é igual a -1 vezes a primeira coluna mais 0 vezes a segunda, ou seja, não traz nova informação. Portanto, uma base para Im T são as duas primeiras colunas:
1 1 0 , 2 0 1

Resposta

  • Base para Ker T : 1 0 1
  • Base para Im T : 1 1 0 , 2 0 1

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