Determinar o polinômio P(x)=a x^2+b x+c, sabendo-se que P(0)=5, P(1)=6 e P(-2)=-9.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que encontrar um polinômio do segundo grau, ou seja, da forma P(x) = a x^2 + b x + c . Sabemos três valores desse polinômio para x = 0 , x = 1 e x = -2 . Para resolver isso, vamos usar a teoria de sistemas de equações lineares, já que teremos três equações para encontrar os três coeficientes a , b e c .

Passo 2

Primeiro, vamos usar o fato de que P(0) = 5 . Substituindo x = 0 na expressão do polinômio:
P(0) = a (0)^2 + b (0) + c = c = 5
Então, já encontramos que c = 5 .

Passo 3

Agora, vamos usar P(1) = 6 . Substituindo x = 1 :
P(1) = a (1)^2 + b (1) + c = a + b + 5 = 6
Como c = 5 , temos:
a + b = 1

Passo 4

Por fim, usamos P(-2) = -9 . Substituindo x = -2 :
P(-2) = a (-2)^2 + b (-2) + c = 4a - 2b + 5 = -9
Então:
4a - 2b = -14

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = 1 4a - 2b = -14
Podemos resolver esse sistema. Por exemplo, multiplicamos a primeira equação por 2:
2a + 2b = 2
Agora, somamos com a segunda equação:
4a - 2b + 2a + 2b = -14 + 2
Isso simplifica para:
6a = -12
Portanto, a = -2 .
Substituindo a = -2 na equação a + b = 1 :
-2 + b = 1 Rightarrow b = 3

Resposta

O polinômio é P(x) = -2x^2 + 3x + 5 .

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