Determine m e n no polinômio P(x)=m x^3-2 x^2+nx-1, sabendo-se que 1 é a raiz do polinômio e que P(-2)=-21.

Passo 1

O enunciado pede determinar m e n do polinômio
P(x)=m x^3 -2x^2 + n x -1,
sabendo que 1 é raiz e que P(-2)=-21. O conteúdo envolve raízes de polinômios e avaliação de polinômios.

Passo 2

Como 1 é raiz, temos P(1)=0. Logo
mcdot1^3 -2cdot1^2 + ncdot1 -1 = 0
que simplifica para
m + n -3 = 0,
isto é,
m + n = 3

Passo 3

Usamos P(-2)=-21:
m(-2)^3 -2(-2)^2 + n(-2) -1 = -21
Isso dá
-8m -8 -2n -1 = -21
ou
-8m -2n -9 = -21,
logo
-8m -2n = -12,
e dividindo por -2:
4m + n = 6

Passo 4

Resolvendo o sistema
m + n = 3, 4m + n = 6,
subtraindo a primeira da segunda,
3m = 3 implies m = 1,
e então
n = 3 - m = 2

Resposta

m = 1, n = 2

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