Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=1 / x, y=1 / x^2, x=2

Passo 1

O enunciado nos dá as curvas y=tfrac1x, y=tfrac1x^2 e a reta vertical x=2. A região solicitada é a parte do plano limitada por essas três curvas. Para encontrar a área vamos: (i) identificar onde as duas funções se cruzam, (ii) determinar qual é a função de “cima” e qual é a de “baixo” no intervalo relevante de x, (iii) montar uma integral definida da diferença entre elas.

Passo 2

Para achar a interseção de y=tfrac1x e y=tfrac1x^2 resolvemos
1x = 1x^2
Multiplicando ambos os lados por x^2 (assumindo xneq0) fica x = 1. Logo as curvas se cruzam em x=1 (o ponto é (1,1)).

Passo 3

Para x>1 temos tfrac1x > tfrac1x^2. A reta x=2 fecha a região pelo lado direito. Assim, a região R é
R = l(x,y)mid 1<= x<=2,;tfrac1x^2<= y<=tfrac1xr
A área de R é dada por
Área = integralx=1^2l(1x - 1x^2r),dx Á

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
integral1^21x,dx = l[ln xr]1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2,
integral1^21x^2,dx = integral1^2 x^-2,dx = l[-x^-1r]1^2 = l(-tfrac12r)-l(-1r) = 1 - tfrac12 = tfrac12

Passo 5

Subtraindo os dois resultados obtemos
Área = ln 2 ;-;tfrac12 Á

Resposta

A área da região delimitada por y=1/x, y=1/x^2 e x=2 é
boxedln 2 - tfrac12

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