Determine a , b e c , de modo que (a+b-1) x^2+(b-2 c) x+(2 c-1)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação (a + b - 1)x^2 + (b - 2c)x + (2c - 1) = 0. O objetivo é encontrar os valores de a, b e c que fazem essa equação ser igual a zero para todo valor de x. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre equações polinomiais e como igualar coeficientes.

Passo 2

Primeiro, percebe que a equação é um polinômio do segundo grau, ou seja, tem termos com x^2, x e o termo constante. Para que a equação seja igual a zero para qualquer x, cada um desses coeficientes precisa ser igual a zero separadamente. Isso porque, se não, o polinômio poderia ter valores diferentes de zero para certos x.

Passo 3

Então, vamos igualar cada coeficiente a zero:
  1. Coeficiente de x^2: a + b - 1 = 0
  2. Coeficiente de x: b - 2c = 0
  3. Termo constante: 2c - 1 = 0

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
a + b - 1 = 0 b - 2c = 0 2c - 1 = 0
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Começando pela terceira equação: 2c - 1 = 0. Vamos resolver para c.
2c - 1 = 0 2c = 1 c = 12

Passo 6

Com o valor de c encontrado, vamos para a segunda equação: b - 2c = 0. Substituímos c por 12.
b - 2(12) = 0 b - 1 = 0 b = 1

Passo 7

Agora que temos b = 1, vamos para a primeira equação: a + b - 1 = 0. Substituímos b por 1.
a + 1 - 1 = 0 a = 0

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são:
a = 0, b = 1, c = 12

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