Determine o volume do sólido obtido ao rotar a região determinada pelas curvas dadas ao redor da reta dada. Faça um esboço da região, do sólido obtido e do cilindro ou arruela típica.
x=y^2, x=1-y^2; ao redor de x=3.

Passo 1

Vamos girar a região limitada pelas curvas
x = y^2
e
x = 1 - y^2
em torno da reta vertical x=3.
Este é um problema de volume por revolucionamento; aqui é mais natural usar o método das arruelas (washers), pois giramos em torno de uma reta vertical e temos funções expressas como x=f(y).

Passo 2

Precisamos dos limites em y. Igualando
y^2 ;=; 1 - y^2 Longrightarrow 2y^2 = 1 Longrightarrow y = pm 1raiz2
Portanto a região fica entre y=-1/raiz2 e y=+1/raiz2, e horizontalmente entre xmin=y^2 e xmax=1-y^2.

Passo 3

Para cada y fixo, ao girar a faixa de xin[y^2,;1-y^2] em torno de x=3 obtemos uma arruela de raio maior
R(y) = l|3 - xminr| = 3 - y^2
e raio menor
r(y) = l|3 - xmaxr| = 3 - (1 - y^2) = 2 + y^2
A área da seção transversal é
A(y) ;=; pil[R(y)^2 - r(y)^2r] ;=; pil[(3 - y^2)^2 - (2 + y^2)^2r]

Passo 4

Expandindo o integrando:
(3 - y^2)^2 - (2 + y^2)^2 = l(9 -6y^2 +y^4r) - l(4 +4y^2 +y^4r) = 5 - 10y^2
Logo o volume é
V = integraly=-tfrac1raiz2^y=+tfrac1raiz2 pil(5 - 10y^2r),dy

Passo 5

Como o integrando é par, escrevemos
V = 2pi integral0^1/raiz2 l(5 - 10y^2r),dy = 2pi l[5y - tfrac103y^3r]0^1/raiz2
Substituindo y=1/raiz2 obtemos
5l(tfrac1raiz2r)-tfrac103l(tfrac1raiz2r)^3 = 5raiz2 - 103,12raiz2 = 103raiz2
Multiplicando por 2pi
V = 2pi;103raiz2 = 20pi3raiz2 = 10raiz2,pi3

Resposta

V = 10raiz2,pi3

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