Encontre o domínio de cada função
g(x)=raizx^3+x^2-8 x-12

Passo 1

Então, o enunciado pede pra encontrar o domínio da função g(x)=raizx^3+x^2-8x-12. O assunto aqui é domínio de funções com raiz de índice par, e pra resolver isso a gente vai precisar garantir que o radicando esteja maior ou igual a zero, ou seja, resolver a inequação x^3+x^2-8x-12>=0.

Passo 2

Em funções do tipo g(x)=raizradicando, a regra é simples: o radicando tem que ser maior ou igual a zero para que a raiz exista no conjunto dos números reais. Logo, vamos trabalhar na inequação x^3+x^2-8x-12>=0.

Passo 3

Para resolver x^3+x^2-8x-12>=0, primeiro fatoramos o polinômio. A gente testa raízes racionais (como pm1,pm2,pm3,pm4,pm6,pm12) e descobre que x=-2 zera o polinômio. Fazendo divisão ou agrupamento:

Passo 4

x^3+x^2-8x-12=(x+2)(x^2-x-6)

Passo 5

Depois, fatoramos x^2-x-6:

Passo 6

x^2-x-6=(x+2)(x-3)

Passo 7

Então o radicando fica

Passo 8

(x+2)(x+2)(x-3)=(x+2)^2(x-3)

Passo 9

Agora, analisamos o sinal de (x+2)^2(x-3). Como (x+2)^2 é sempre não-negativo (zero só em x=-2) e (x-3) é negativo quando x<3 e positivo quando x>3, concluímos que o produto só é não-negativo se x-3>=0 (ou seja, x>=3) ou quando x=-2, que anula a parte quadrada.

Passo 10

Juntando tudo, o domínio de g é o conjunto de x tais que o radicando é não-negativo, isto é, -2 (onde a raiz dá zero) e todos os x>=3.

Resposta

-2cup[3,+infty)

Exercícios relacionados