determinar o ponto de interseção da reta r com o plano pi.
r:lx=4+k y=3+2 k z=-2-3 k e pi:lx=2+h+2 t y=-3-h-t z=1+3 h-3 t
Nos Problemas 45 a 47, determinar o ponto de interseção da reta r com o plano pi:

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção entre a reta r e o plano pi, ambos dados em forma paramétrica. Para isso, igualamos as coordenadas de r e pi e determinamos os parâmetros k, h e t.

Passo 2

Igualando os pontos de r e pi, obtemos o sistema
4 + k = 2 + h + 2t, 3 + 2k = -3 - h - t, -2 - 3k = 1 + 3h - 3t

Passo 3

Da primeira equação isolamos h:
h = k - 2t + 2

Passo 4

Substituindo h = k - 2t + 2 nas duas últimas equações e simplificando, chega-se ao sistema em k e t:
3k - t = -8, -2k + 3t = 3

Passo 5

Para resolver esse sistema, multiplicamos a primeira equação por 3 e somamos à segunda:
3k - t = -8, -2k + 3t = 3, Longrightarrow 9k - 3t = -24, -2k + 3t = 3,
somando: 7k = -21, logo
k = -3
Substituindo em 3k - t = -8 resulta
-9 - t = -8 Longrightarrow t = -1

Passo 6

Voltando a h = k - 2t + 2 com k=-3 e t=-1, obtemos
h = -3 -2(-1) + 2 = 1

Passo 7

Finalmente, substituímos k = -3 na reta r:
x = 4 + (-3) = 1, y = 3 + 2(-3) = -3, z = -2 - 3(-3) = 7
Logo, o ponto de interseção é (1,-3,7).

Resposta

(1,-3,7)

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