Exercício 1:
Prove que implica é um corpo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um corpo K, a igualdade x^2 = y^2 implica x = pm y. O conteúdo aqui é diferenciar quadrados e usar que em um corpo não há divisores de zero. Vamos precisar da fatoração de soma e diferença de quadrados e da propriedade de que, em um corpo, produto zero só ocorre se um dos fatores for zero.

Passo 2

Partindo de x^2 = y^2, subtraímos y^2 dos dois lados para obter

Passo 3

x^2 - y^2 = 0

Passo 4

Em seguida, aplicamos a fatoração de diferença de quadrados:

Passo 5

x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

Passo 6

Logo,

Passo 7

(x - y)(x + y) = 0

Passo 8

Como K é um corpo, não há divisores de zero. Logo, desse produto zero segue que um dos fatores deve ser zero: ou

Passo 9

x - y = 0

Passo 10

ou

Passo 11

x + y = 0

Passo 12

Da primeira igualdade vem x = y e da segunda vem x = -y.

Passo 13

Portanto, concluímos que x = pm y.

Resposta

x = \pm y

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