Exercício 1:
Prove que
implica é um corpo.
Prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um corpo
, a igualdade
implica
. O conteúdo aqui é diferenciar quadrados e usar que em um corpo não há divisores de zero. Vamos precisar da fatoração de soma e diferença de quadrados e da propriedade de que, em um corpo, produto zero só ocorre se um dos fatores for zero.
Passo 2
Partindo de
, subtraímos
dos dois lados para obter
Passo 3
Passo 4
Em seguida, aplicamos a fatoração de diferença de quadrados:
Passo 5
Passo 6
Logo,
Passo 7
Passo 8
Como
é um corpo, não há divisores de zero. Logo, desse produto zero segue que um dos fatores deve ser zero: ou
Passo 9
Passo 10
ou
Passo 11
Passo 12
Da primeira igualdade vem
e da segunda vem
.
Passo 13
Portanto, concluímos que
.
Resposta
x = \pm y