Exercício 1:
Prove que para todo é um corpo.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que para todo x em um corpo K vale -(-x)) = x. O conteúdo envolve propriedades de corpo, especialmente a existência e unicidade do inverso aditivo.

Passo 2

Lembra que numa estrutura de corpo a adição tem um elemento neutro 0 e que para cada ain K existe um único inverso aditivo -a tal que a + (-a) = 0.

Passo 3

Pela definição do inverso aditivo, -(-x) é o inverso de -x. Logo temos

Passo 4

(-x) + (-(-x)) = 0

Passo 5

Por outro lado, como a adição é comutativa,

Passo 6

(-x) + x = x + (-x) = 0,

Passo 7

isto significa que x também é um inverso aditivo de -x.

Passo 8

Como o inverso aditivo de um elemento é único em K, só pode ser um só. Portanto

Passo 9

-(-x) = x

Resposta

Fica provado que -(-x) = x para todo x in K.

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