Exercício 1:
Prove que
para todo é um corpo.
Prove que
Passo 1
O enunciado quer mostrar que para todo
em um corpo
vale
. O conteúdo envolve propriedades de corpo, especialmente a existência e unicidade do inverso aditivo.
Passo 2
Lembra que numa estrutura de corpo a adição tem um elemento neutro
e que para cada
existe um único inverso aditivo
tal que
.
Passo 3
Pela definição do inverso aditivo,
é o inverso de
. Logo temos
Passo 4
Passo 5
Por outro lado, como a adição é comutativa,
Passo 6
Passo 7
isto significa que
também é um inverso aditivo de
.
Passo 8
Como o inverso aditivo de um elemento é único em
, só pode ser um só. Portanto
Passo 9
Resposta
Fica provado que
para todo
.