Determinar um ponto e um vetor diretor de cada uma das retas:
r:\left\{\begin{array}{l}x(t)=-5+2 t \\\ y(t)=3 \\\ z(t)=2-5 t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a reta r\) em forma paramétrica: \[\begin{cases} x(t) = -5 + 2t,\\\ y(t) = 3,\\\ z(t) = 2 - 5t. \end{cases}
O conteúdo aqui é “reta em \mathbb{R}^3\]” na forma vetorial ou paramétrica, e vamos precisar lembrar que uma reta é dada por \[\mathbf{r}(t) = \mathbf{P}_0 + t\,\mathbf{d},\] onde \(\mathbf{P}_0 é um ponto da reta e \mathbf{d} é o vetor diretor.

Passo 2

Para identificar o ponto \mathbf{P}_0, basta escolher um valor conveniente de t. O mais simples é t=0. Substituindo t=0 nas equações paramétricas, obtemos as coordenadas do ponto.

Passo 3

Substituindo t=0:
x(0) = -5 + 2\cdot0 = -5,\quad y(0) = 3,\quad z(0) = 2 - 5\cdot0 = 2.
Logo, um ponto na reta é
\mathbf{P}_0 = (-5,\,3,\,2).

Passo 4

O vetor diretor \mathbf{d} é dado pelos coeficientes que acompanham t em cada coordenada. Da forma
x = -5 + \underbrace{2}_{d_x}t,\quad y = 3 + \underbrace{0}_{d_y}t,\quad z = 2 + \underbrace{-5}_{d_z}t,
vemos que
\mathbf{d} = (2,\,0,\,-5).

Resposta

Ponto na reta: \mathbf{P}_0 = (-5,\,3,\,2)
Vetor diretor: \mathbf{d} = (2,\,0,\,-5)

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