Determine o volume do tetraedro definido pelos vetores \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,1,0) e \vec{w}=(0,0,1), usando produto misto. (Dica: o volume do tetraedro é \frac{1}{6} do volume do paralelepípedo correspondente).

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro gerado pelos vetores \vec u=(1,0,0), \vec v=(0,1,0) e \vec w=(0,0,1). Vamos usar o produto misto para achar primeiro o volume do paralelepípedo definido por esses vetores e depois multiplicar por \tfrac{1}{6}, pois
V_{\text{tetra}}=\frac{1}{6}\,V_{\text{paralel.}}.

Passo 2

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto, isto é, do determinante da matriz cujas colunas são \vec u, \vec v e \vec w. Montamos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos
\det(A)=1\cdot1\cdot1=1.

Passo 3

Como V_{\text{paralel.}}=|\det(A)|=1, o volume do tetraedro é
V_{\text{tetra}}=\frac{1}{6}\times1=\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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