Determinar os pontos críticos das funções e classifique-os em máximos e mínimos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada ponto como um máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e análise de pontos críticos.
Passo 2
Os pontos críticos de uma função ocorrem onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis independentes são iguais a zero ou não estão definidas. Vamos começar calculando as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
De forma similar, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos cada derivada parcial a zero:
Isso implica que
e
.
Passo 5
Então, o único ponto crítico é
. Agora precisamos classificar esse ponto como um máximo ou um mínimo.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função. A função
representa a distância do ponto
à origem. Essa distância é sempre maior ou igual a zero e iguala-se a zero apenas quando
e
. Portanto,
para todos os
, e o mínimo valor ocorre exatamente no ponto
.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um ponto de mínimo.