Seja a função
.(Justifique sua repostas por meio dos cálculos)
(A) Apresenta um ponto de máximo em (
.
(B) Apresenta um ponto de mínimo em ( 0,0 ).
© Apresenta um ponto de máximo em
.
(D) Não apresenta ponto de sela.
(A) Apresenta um ponto de máximo em (
(B) Apresenta um ponto de mínimo em ( 0,0 ).
© Apresenta um ponto de máximo em
(D) Não apresenta ponto de sela.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função de duas variáveis
e precisamos determinar se ela possui pontos de máximo ou mínimo nos pontos dados nas alternativas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como encontrar pontos críticos e analisar a natureza desses pontos.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos da função, devemos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
e igualá-las a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Portanto,
ou
.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Portanto,
ou
.
Passo 3
Agora, identificamos os pontos críticos combinando os valores de
e
que encontramos:
Passo 4
Para determinar a natureza de cada ponto crítico (máximo, mínimo ou ponto de sela), usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Analisemos cada ponto crítico:
-
Ponto (0, 0):Como
e , este ponto é um mínimo local. -
Ponto
: Como, este ponto é um ponto de sela. -
Ponto
: Novamente,indica um ponto de sela. -
Ponto
: Comoe , este ponto é um máximo local.
Resposta
A opção correta é a (A) Apresenta um ponto de máximo em
.