Seja a função f(x, y) = -x^3 + y^3 + x^2 + y^2.(Justifique sua repostas por meio dos cálculos)
(A) Apresenta um ponto de máximo em ( 2/3, -2/3.
(B) Apresenta um ponto de mínimo em ( 0,0 ).
© Apresenta um ponto de máximo em 2/3,0.
(D) Não apresenta ponto de sela.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função de duas variáveis e precisamos determinar se ela possui pontos de máximo ou mínimo nos pontos dados nas alternativas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como encontrar pontos críticos e analisar a natureza desses pontos.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos da função, devemos calcular as derivadas parciais de em relação a e a e igualá-las a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Portanto, ou .
Calculando a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Portanto, ou .

Passo 3

Agora, identificamos os pontos críticos combinando os valores de e que encontramos:

Passo 4

Para determinar a natureza de cada ponto crítico (máximo, mínimo ou ponto de sela), usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
áãá
O discriminante é dado por:
Analisemos cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
    Como e , este ponto é um mínimo local.
  2. Ponto :
    Como , este ponto é um ponto de sela.
  3. Ponto :
    Novamente, indica um ponto de sela.
  4. Ponto :
    Como e , este ponto é um máximo local.

Resposta

A opção correta é a (A) Apresenta um ponto de máximo em .

Exercícios relacionados