(1,5 pontos) Se f(z) = e^(z + 2 * bar(z)), determine as funções reais u(x, y) e v(x, y) tais que f(z) = u(x, y) + i v(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as funções reais e de tal forma que , onde . Aqui, estamos trabalhando com funções de variáveis complexas, utilizando conceitos de álgebra complexa e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais. Daí, o conjugado de , que é , é .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na expressão de :
Simplificamos juntando os termos semelhantes.

Passo 4

Sabemos que . Vamos aplicar isso na nossa expressão:
Como e , temos:

Passo 5

Agora, podemos identificar as partes real e imaginária de :

Resposta

As funções reais são:

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