( 1,5 ponto) Encontre as raízes quadradas de -7 + 24 i.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver esse exercício que pede pra encontrar as raízes quadradas de um número complexo, que nesse caso é . Isso faz parte da matéria de Números Complexos, e pra resolver vamos precisar lembrar de como calcular a raiz quadrada de um número no formato . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a raiz quadrada desse número complexo pode ser escrita como , onde x e y são números reais que precisamos descobrir. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação:

Sabemos que , então:

Passo 4

Comparamos as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:
  • Parte real:
  • Parte imaginária:
Então, temos um sistema de duas equações:

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação para facilitar. Da equação , podemos isolar y:

Passo 6

Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por para eliminar o denominador:

Reorganizando:

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Deixe , então a equação fica:

Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 9

Isso nos dá duas soluções para z:
Como e não pode ser negativo, descartamos . Então, , o que dá ou .

Passo 10

Agora, lembrando que :
  • Se , então
  • Se , então

Resposta

As raízes quadradas de são e .

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