( 1,5 ponto) Encontre as raízes quadradas de
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver esse exercício que pede pra encontrar as raízes quadradas de um número complexo, que nesse caso é
. Isso faz parte da matéria de Números Complexos, e pra resolver vamos precisar lembrar de como calcular a raiz quadrada de um número no formato
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a raiz quadrada desse número complexo pode ser escrita como
, onde
e
são números reais que precisamos descobrir. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação:
Sabemos que
Passo 4
Comparamos as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Então, temos um sistema de duas equações:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação para facilitar. Da equação
, podemos isolar
:
Passo 6
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por
para eliminar o denominador:
Reorganizando:
Passo 8
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Deixe
, então a equação fica:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 9
Isso nos dá duas soluções para
:
Como
e
não pode ser negativo, descartamos
. Então,
, o que dá
ou
.
Passo 10
Agora, lembrando que
:
- Se
, então - Se
, então
Resposta
As raízes quadradas de
são
e
.