Determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível:
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo é encontrar pontos críticos e classificá-los. Para isso, vamos usar o gradiente (para achar onde
) e a matriz Hessiana (para decidir se é mínimo, máximo ou ponto de sela).
Passo 2
Calculamos o gradiente de
. As derivadas parciais são:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, igualamos
e
. Como
nunca é zero, isso implica
Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora vamos construir a matriz Hessiana de segunda derivadas parciais. Temos:
Passo 5
Avaliando essas segundas derivadas em
obtemos
Passo 6
A Hessiana em
é a matriz
Passo 7
Como
e
, essa matriz é definida positiva. Portanto,
é um ponto de mínimo local (estrito).
Resposta
O único ponto crítico é (0,0), que é ponto de mínimo local (e global).