Determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível:
f(x, y)=e^(x^2+y^2)

Passo 1

Temos a função f(x,y)=e^(x^2+y^2). O conteúdo é encontrar pontos críticos e classificá-los. Para isso, vamos usar o gradiente (para achar onde nabla f=0) e a matriz Hessiana (para decidir se é mínimo, máximo ou ponto de sela).

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. As derivadas parciais são:
fx = partial fpartial x = 2x,e^(x^2+y^2), fy = partial fpartial y = 2y,e^(x^2+y^2)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos fx=0 e fy=0. Como e^(x^2+y^2) nunca é zero, isso implica
2x,e^(x^2+y^2)=0 Rightarrow x=0, 2y,e^(x^2+y^2)=0 Rightarrow y=0
Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Agora vamos construir a matriz Hessiana de segunda derivadas parciais. Temos:
fxx = 2e^(x^2+y^2) + 4x^2e^(x^2+y^2), fyy = 2e^(x^2+y^2) + 4y^2e^(x^2+y^2), fxy = 4xy,e^(x^2+y^2)

Passo 5

Avaliando essas segundas derivadas em (0,0) obtemos
fxx(0,0)=2, fyy(0,0)=2, fxy(0,0)=0

Passo 6

A Hessiana em (0,0) é a matriz

Passo 7

Como det H(0,0)=2cdot2-0=4>0 e fxx(0,0)=2>0, essa matriz é definida positiva. Portanto, (0,0) é um ponto de mínimo local (estrito).

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é ponto de mínimo local (e global).

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