Esboce a região e, utilizando integral dupla, encontre a área da região indicada pelas equações em coordenadas polares:
um laço de
um laço de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a região definida pela equação polar
e, usando uma integral dupla, encontrar a área dessa região. Então, vamos trabalhar com coordenadas polares e integrais duplas para calcular a área do laço formado por essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Essa é uma equação de uma rosa com 3 pétalas porque o coeficiente de θ é 3 e está multiplicando o seno. As rosas com
têm:
-
ímpar: pétalas. -
par: pétalas.
No nosso caso, como
(ímpar), temos uma rosa com 3 pétalas.
Passo 3
Vamos esboçar a curva para visualizar a região. Para diferentes valores de θ de 0 a
, vamos traçar os valores de r:
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - E assim por diante…
Vemos que a rosa completa uma pétala entre
e
e repete isso três vezes ao redor do círculo completo de
.
Passo 4
Agora, para encontrar a área de uma única pétala, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Onde
e
são os limites de θ que delimitam uma pétala. No nosso caso, uma pétala vai de
a
.
Passo 5
Vamos substituir
na fórmula:
Primeiro, simplificamos:
Lembrando que
, podemos reescrever:
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo os limites:
Como
, fica:
Resposta
A área de uma pétala da região definida por
é
unidades de área.