Esboce a região e, utilizando integral dupla, encontre a área da região indicada pelas equações em coordenadas polares:
um laço de r=4 sen(3 theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a região definida pela equação polar r = 4 sin(3theta) e, usando uma integral dupla, encontrar a área dessa região. Então, vamos trabalhar com coordenadas polares e integrais duplas para calcular a área do laço formado por essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação r = 4 sin(3theta) . Essa é uma equação de uma rosa com 3 pétalas porque o coeficiente de θ é 3 e está multiplicando o seno. As rosas com r = a sin(ktheta) têm:
  • k ímpar: k pétalas.
  • k par: 2k pétalas.
No nosso caso, como k = 3 (ímpar), temos uma rosa com 3 pétalas.

Passo 3

Vamos esboçar a curva para visualizar a região. Para diferentes valores de θ de 0 a pi , vamos traçar os valores de r:
  • Quando theta = 0 : r = 4 sin(0) = 0
  • Quando theta = pi6 : r = 4 sin(pi2) = 4
  • Quando theta = pi3 : r = 4 sin(pi) = 0
  • E assim por diante…
Vemos que a rosa completa uma pétala entre 0 e pi3 e repete isso três vezes ao redor do círculo completo de 2pi .

Passo 4

Agora, para encontrar a área de uma única pétala, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Onde alpha e beta são os limites de θ que delimitam uma pétala. No nosso caso, uma pétala vai de 0 a pi3 .

Passo 5

Vamos substituir r = 4 sin(3theta) na fórmula:
A = 12 integral0^pi3 (4 sin(3theta))^2 , dtheta
Primeiro, simplificamos:
A = 12 integral0^pi3 16 sin^2(3theta) , dtheta = 8 integral0^pi3 sin^2(3theta) , dtheta
Lembrando que sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 , podemos reescrever:
A = 8 integral0^pi3 1 - cos(6theta)2 , dtheta = 4 integral0^pi3 (1 - cos(6theta)) , dtheta
Agora, integramos termo a termo:
A = 4 [ theta - sin(6theta)6 ]0^pi3
Substituindo os limites:
A = 4 ( pi3 - sin(6 cdot pi3)6 - (0 - sin(0)6) ) = 4 ( pi3 - sin(2pi)6 )
Como sin(2pi) = 0 , fica:
A = 4 cdot pi3 = 4pi3

Resposta

A área de uma pétala da região definida por r = 4 sin(3theta) é 4pi3 unidades de área.

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