8 - Determinar os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como, os máximos e mínimos das seguintes funções.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede, para cada função, que a gente encontre os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe), determine em que intervalos a função cresce ou decresce (analisando o sinal da derivada) e classifique esses pontos como máximos ou mínimos locais. O conteúdo principal é cálculo de derivada, teste da primeira derivada para monotonicidade e classificação de extremos.
Passo 2
Para a função
primeiro calculamos a derivada usando regras de potência e soma:
Em seguida, achamos os pontos críticos resolvendo
Para saber onde cresce ou decresce, analisamos o sinal de
:
- Para
, escolhemos : , logo cresce em . - Para
, escolhemos : , logo decresce em . - Para
, escolhemos : , logo cresce em .
Como
muda de positivo para negativo em
, ali temos um máximo local. Como muda de negativo para positivo em
, ali temos um mínimo local. Os valores são
Passo 3
Agora para
usamos a regra do produto para derivar:
Colocamos em evidência
:
Os pontos críticos vêm de
, ou seja
Para a segunda equação definimos
e resolvemos numericamente em
. Há uma única raiz positiva
; por simetria (função ímpar) há também
. Logo os críticos são
Para o sinal de
fazemos o teste em cada intervalo:
- Em
, (decresce). - Em
, (cresce). - Em
, (cresce). - Em
, (decresce).
Assim
é mínimo local (decreve
cresce),
é máximo local (cresce
decrece) e em
a derivada não muda de sinal (ponto de inflexão horizontal). Calculando os valores:
Resposta
a) Pontos críticos em
(máximo local,
) e
(mínimo local,
).
Cresce em , decresce em
.
Cresce em
b) Pontos críticos em
(mínimo local,
),
(inflexão) e
(máximo local,
).
Cresce em , decresce em
.
Cresce em