8 - Determinar os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como, os máximos e mínimos das seguintes funções.
a) f(x)=13 x^3+12 x^2-6 x
b) g(x)=x^2 cdot sen(x),[-pi, pi]

Passo 1

O enunciado pede, para cada função, que a gente encontre os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe), determine em que intervalos a função cresce ou decresce (analisando o sinal da derivada) e classifique esses pontos como máximos ou mínimos locais. O conteúdo principal é cálculo de derivada, teste da primeira derivada para monotonicidade e classificação de extremos.

Passo 2

Para a função
f(x)=tfrac13x^3+tfrac12x^2-6x
primeiro calculamos a derivada usando regras de potência e soma:
f'(x)=x^2+x-6
Em seguida, achamos os pontos críticos resolvendo
x^2+x-6=0 Longrightarrow (x+3)(x-2)=0 Longrightarrow x=-3,;x=2
Para saber onde cresce ou decresce, analisamos o sinal de f'(x):
  • Para x<-3, escolhemos x=-4: f'(-4)=16-4-6=6>0, logo f cresce em (-infty,-3).
  • Para -3<x<2, escolhemos x=0: f'(0)=-6<0, logo f decresce em (-3,2).
  • Para x>2, escolhemos x=3: f'(3)=9+3-6=6>0, logo f cresce em (2,infty).
Como f'(x) muda de positivo para negativo em x=-3, ali temos um máximo local. Como muda de negativo para positivo em x=2, ali temos um mínimo local. Os valores são
f(-3)=tfrac13(-27)+tfrac12(9)-6(-3)=-9+4,5+18=13,5,
f(2)=tfrac13(8)+tfrac12(4)-6(2)=2,667+2-12=-7,333

Passo 3

Agora para
g(x)=x^2sin(x), xin[-pi,pi],
usamos a regra do produto para derivar:
g'(x)=2xsin(x)+x^2cos(x)
Colocamos em evidência x:
g'(x)=xl(2sin(x)+xcos(x)r)
Os pontos críticos vêm de g'(x)=0, ou seja
x=0 ou 2sin(x)+xcos(x)=0
Para a segunda equação definimos
h(x)=2sin(x)+xcos(x)
e resolvemos numericamente em (0,pi). Há uma única raiz positiva xapprox2,334; por simetria (função ímpar) há também xapprox-2,334. Logo os críticos são
x=-2,334, x=0, x=2,334
Para o sinal de g'(x) fazemos o teste em cada intervalo:
  • Em (-,pi,-2,334), g'(x)<0 (decresce).
  • Em (-2,334,0), g'(x)>0 (cresce).
  • Em (0,2,334), g'(x)>0 (cresce).
  • Em (2,334,pi), g'(x)<0 (decresce).
Assim x=-2,334 é mínimo local (decreve tocresce), x=2,334 é máximo local (cresce todecrece) e em x=0 a derivada não muda de sinal (ponto de inflexão horizontal). Calculando os valores:
g(2,334)approx(2,334)^2sin(2,334)approx3,958, g(-2,334)approx-3,958, g(pmpi)=pi^2sin(pmpi)=0

Resposta

a) Pontos críticos em x=-3 (máximo local, f(-3)=13,5) e x=2 (mínimo local, f(2)=-7,333).
Cresce em (-infty,-3)cup(2,infty), decresce em (-3,2).
b) Pontos críticos em xapprox-2,334 (mínimo local, gapprox-3,958), x=0 (inflexão) e xapprox2,334 (máximo local, gapprox3,958).
Cresce em (-2,334,0)cup(0,2,334), decresce em (-pi,-2,334)cup(2,334,pi).

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