Obtenha a solução geral de cada EDO a seguir.
(x-y cos (yx)) d x+x cos (yx) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(x - y cos!l(tfracyxr)r),dx + xcos!l(tfracyxr),dy = 0
Vemos que todos os termos dependem da razão y/x, então vamos usar a substituição homogênea
v = yx, y = v x

Passo 2

Antes de aplicar a substituição, escrevemos a EDO na forma dy/dx. Dividindo tudo por dx:
x - ycosl(tfracyxr) + xcosl(tfracyxr),dydx = 0
dydx = -,x - ycosl(tfracyxr)xcosl(tfracyxr) = -sec!l(tfracyxr) + yx

Passo 3

Com y = v x temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo em ;dy/dx = -sec(v) + v; (pois y/x=v) resulta
v + xdvdx = -sec(v) + v Longrightarrow xdvdx = -sec(v)

Passo 4

Separamos variáveis:
dvsec(v) = -dxx Long<=ftrightarrow cos(v),dv = -dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral cos(v),dv = -integral dxx Longrightarrow sin(v) = -lnlvert xrvert + C

Passo 6

Voltando à variável original v = y/x, obtemos a solução implícita geral
sin!l(tfracyxr) + lnlvert xrvert = C

Resposta

sin!l(tfracyxr) + lnlvert xrvert = C

Exercícios relacionados