Esboce o gráfico de cada função abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
. Vamos usar técnicas de análise de funções de uma variável: determinar domínio, limites, assíntotas, derivadas, monotonicidade e extremos.
Passo 2
O domínio é
. Ao investigar limites em
e
, note que
pois o expoente vai a
. Assim
. Para
,
, então
e
, logo
.
Passo 3
Para
usamos a expansão
Logo
o que mostra que a reta oblíqua
é assíntota quando
.
Passo 4
A derivada é
sempre positiva se
(isto é,
ou
) e negativa se
. Logo há um extremo em
, onde
. Como
muda de positivo para negativo, é um máximo local em
.
Passo 5
Resumindo o esboço: para
o ramo sai de
em
, cresce até
e depois decresce para
em
. Para
o ramo parte de
e cresce monotonamente, aproximando-se da assíntota
.
Resposta
O gráfico apresenta dois ramos desconexos:
-
No ramo
, a curva sai de quando , cresce até um máximo local em e depois decresce para à medida que . -
No ramo
, a função parte de e cresce monotonamente, aproximando-se da reta oblíqua de assíntota para .