Esboce o gráfico de cada função abaixo.
f(x)=x e^-1x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função f(x)=x e^-1x. Vamos usar técnicas de análise de funções de uma variável: determinar domínio, limites, assíntotas, derivadas, monotonicidade e extremos.

Passo 2

O domínio é xneq 0. Ao investigar limites em xto 0^+ e xto 0^-, note que
limxto 0^+ e^-1x = 0
pois o expoente vai a -infty. Assim limxto 0^+ f(x)=0. Para xto 0^-, -1/xto +infty, então e^-1xto+infty e xto0^-, logo limxto 0^- f(x) = -infty.

Passo 3

Para xtopminfty usamos a expansão
e^-1x=1-1x+Ol(tfrac1x^2r)
Logo
f(x)=xl(1-1x+O(tfrac1x^2)r)=x-1+O(tfrac1x),
o que mostra que a reta oblíqua y=x-1 é assíntota quando xtopminfty.

Passo 4

A derivada é
f'(x)=ddxl(x e^-1xr)=e^-1xl(1+tfrac1xr),
sempre positiva se 1+tfrac1x>0 (isto é, x>0 ou x<-1) e negativa se -1<x<0. Logo há um extremo em x=-1, onde f(-1)=-1cdot e^1=-e. Como f' muda de positivo para negativo, é um máximo local em (-1,-e).

Passo 5

Resumindo o esboço: para x<0 o ramo sai de -infty em xto-infty, cresce até (-1,-e) e depois decresce para -infty em xto0^-. Para x>0 o ramo parte de f(0^+)=0 e cresce monotonamente, aproximando-se da assíntota y=x-1.

Resposta

O gráfico apresenta dois ramos desconexos:
  • No ramo x<0, a curva sai de f(x)to-infty quando xto-infty, cresce até um máximo local em (-1,-e) e depois decresce para -infty à medida que xto0^-.
  • No ramo x>0, a função parte de f(0^+)=0 e cresce monotonamente, aproximando-se da reta oblíqua de assíntota y=x-1 para xto+infty.

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