Determinar os pontos críticos das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função f(x)=x^4-6x^2+8x+1. Vamos usar cálculo de derivadas (conteúdo de Análise ou Cálculo I) para identificar onde f' é zero ou não existe. Como f é polinomial, só precisamos resolver f'(x)=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x). Usando regras de potência e soma, temos:
f'(x)=ddxl(x^4r)-6ddxl(x^2r)+8ddx(x)+ddx(1)=4x^3-12x+8

Passo 3

Precisamos achar as raízes de f'(x)=0. Primeiro, igualamos a zero e fatoramos:
4x^3-12x+8=0Longrightarrow x^3-3x+2=0
O polinômio do terceiro grau fatoriza assim:
x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)
Logo, as soluções são x=1 (raiz dupla) e x=-2.

Passo 4

Agora determinamos os pontos na curva avaliando f(x) nesses valores.
Para x=-2:
f(-2)=(-2)^4-6(-2)^2+8(-2)+1=16-24-16+1=-23
Para x=1:
f(1)=1^4-6cdot1^2+8cdot1+1=1-6+8+1=4
Assim obtemos as coordenadas dos pontos críticos.

Passo 5

Esse procedimento conclui a determinação dos pontos críticos da função, identificando onde f' se anula e encontrando os valores de f nesses pontos.

Resposta

Os pontos críticos são: (-2,-23) e (1,4).

Exercícios relacionados