Use o teste da razão para verificar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty n alpha^n, alpha>0

Passo 1

O exercício pede para usar o teste da razão para verificar a convergência da série sumn=1^infty n,alpha^n, com alpha>0. Vamos estudar séries numéricas e aplicar o critério da razão.

Passo 2

O teste da razão estabelece que, para uma série de termos an, calculamos o limite
L = limn to infty |an+1an|
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 ela diverge; e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui temos an = n,alpha^n e portanto
an+1 = (n+1),alpha^n+1

Passo 4

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1),alpha^n+1n,alpha^n = n+1n,alpha = l(1 + 1nr),alpha

Passo 5

Tomando o limite quando ntoinfty:
limntoinfty an+1an = alpha

Passo 6

Pelo critério da razão, se alpha<1 então L<1 e a série converge; se alpha>1 então L>1 e a série diverge; no caso alpha=1 o teste dá L=1 (inconclusivo), mas a série torna-se sum n, que diverge por comparação com a série harmônica.

Passo 7

Portanto a convergência ocorre exatamente quando 0.

Resposta

A série converge para 0 e diverge para alpha>=1.

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