Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as seguintes funções tem a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
O enunciado pede os pontos de inflexão de
e os intervalos em que a concavidade é para cima ou para baixo. O conteúdo é derivadas de ordem superior e estudo de concavidade. Para resolver vamos:
- Calcular
. - Calcular
. - Encontrar onde
ou é indefinida. - Analisar o sinal de
para determinar concavidade.
Passo 2
Derivando uma vez usando regra da cadeia:
Passo 3
Derivando de novo para obter
, aplicamos a regra do quociente em
:
Passo 4
Para encontrar candidatos a ponto de inflexão, resolvemos
O denominador
nunca zera, logo não há outra solução nem ponto de descontinuidade de
.
Passo 5
Agora analisamos o sinal de
. Como o denominador é sempre positivo, o sinal vem de
:
- Se
, então , logo (concavidade para cima). - Se
, então , logo (concavidade para baixo).
Resposta
Os pontos de inflexão são
A função é
concava para cima em ,
concava para baixo em .
concava para cima em
concava para baixo em