Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as seguintes funções tem a concavidade voltada para cima ou para baixo.
f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede os pontos de inflexão de f(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) e os intervalos em que a concavidade é para cima ou para baixo. O conteúdo é derivadas de ordem superior e estudo de concavidade. Para resolver vamos:
  1. Calcular f'(x).
  2. Calcular f''(x).
  3. Encontrar onde f''(x)=0 ou é indefinida.
  4. Analisar o sinal de f''(x) para determinar concavidade.

Passo 2

Derivando uma vez usando regra da cadeia:
f'(x) =\frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) =\frac{1}{x^{2}+1}\cdot2x =\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 3

Derivando de novo para obter f''(x), aplicamos a regra do quociente em
\displaystyle f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}:
f''(x) =\frac{(2)(x^{2}+1)-2x\cdot(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2x^{2}+2-4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Para encontrar candidatos a ponto de inflexão, resolvemos
f''(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad 1-x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
O denominador (x^{2}+1)^{2} nunca zera, logo não há outra solução nem ponto de descontinuidade de f''.

Passo 5

Agora analisamos o sinal de f''(x)=2(1-x^{2})/(x^{2}+1)^{2}. Como o denominador é sempre positivo, o sinal vem de 1-x^{2}:
  • Se |x|<1, então 1-x^{2}>0, logo f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Se |x|>1, então 1-x^{2}<0, logo f''(x)<0 (concavidade para baixo).

Resposta

Os pontos de inflexão são
(-1,\ln2) \quad\text{e}\quad (1,\ln2).
A função é
concava para cima em (-1,1),
concava para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).

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