E) Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k

Passo 1

O enunciado pede a convergência e, se existir, a soma da série
sumk=1^infty2^k-2+3^k+15^k
Observamos que podemos separar essa soma em duas séries geométricas, cujos termos têm razão 2/5 e 3/5, respectivamente. Lembrando que uma série geométrica sumk=1^inftyr^k converge se, e somente se, lvert rrvert<1, e sua soma é
sumk=1^inftyr^k=r1-r

Passo 2

Separamos
S=sumk=1^infty2^k-25^k e T=sumk=1^infty3^k+15^k
Para S temos razão rS=2/5 e para T, razão rT=3/5. Como lvert 2/5rvert<1 e lvert 3/5rvert<1, ambas convergem.

Passo 3

Calculando S:
S=sumk=1^infty2^k-25^k =sumk=1^infty2^k4cdot5^k =14sumk=1^inftyl(25r)^k =14cdot251-25 =14cdot2/53/5 =14cdot23 =16

Passo 4

Calculando T:
T=sumk=1^infty3^k+15^k =3sumk=1^inftyl(35r)^k =3cdot351-35 =3cdot3/52/5 =3cdot32 =92

Passo 5

Somamos os resultados:
S+T=16+92 =16+276 =286 =143

Resposta

A série converge e sua soma é 143.

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