Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor:
b) r(t) = (t, e^t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na curva definida por onde o raio de curvatura é o menor possível. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente relacionados à curvatura e ao raio de curvatura de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é curvatura. A curvatura de uma curva em um ponto indica o quanto a curva está “curvando” nesse ponto. Quanto maior a curvatura, menor o raio de curvatura , já que .
A fórmula para a curvatura de uma curva parametrizada por é:
Então, o que a gente precisa fazer é:
  1. Encontrar as derivadas primeiras e segundas de e .
  2. Substituir essas derivadas na fórmula da curvatura.
  3. Encontrar o valor de que maximiza , o que corresponde a minimizar .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias. Nosso vetor posição é , então:
Calculando as primeiras derivadas:
Agora, as segundas derivadas:

Passo 4

Substituímos essas derivadas na fórmula da curvatura:

Passo 5

Agora, queremos encontrar o valor de que maximiza . Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Vamos derivar usando a regra do quociente e a regra da cadeia:
Igualando a zero:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora que encontramos o valor de , vamos encontrar o ponto correspondente na curva :

Resposta

O ponto na curva onde o raio de curvatura é menor é .

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