Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na curva definida por
onde o raio de curvatura é o menor possível. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente relacionados à curvatura e ao raio de curvatura de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é curvatura. A curvatura
de uma curva em um ponto indica o quanto a curva está “curvando” nesse ponto. Quanto maior a curvatura, menor o raio de curvatura
, já que
.
A fórmula para a curvatura de uma curva parametrizada por
é:
Então, o que a gente precisa fazer é:
- Encontrar as derivadas primeiras e segundas de
e . - Substituir essas derivadas na fórmula da curvatura.
- Encontrar o valor de
que maximiza , o que corresponde a minimizar .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias. Nosso vetor posição é
, então:
Calculando as primeiras derivadas:
Agora, as segundas derivadas:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na fórmula da curvatura:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor de
que maximiza
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Vamos derivar usando a regra do quociente e a regra da cadeia:
Igualando a zero:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora que encontramos o valor de
, vamos encontrar o ponto correspondente na curva
:
Resposta
O ponto na curva
onde o raio de curvatura é menor é
.