Determine lim t infty r(t) para r(t)=(ln (t), t^-1, t^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite de uma função vetorial r(t) = (ln(t), t^-1, t^2) quando t vai para o infinito. A gente vai trabalhar com limites de funções componentes, ou seja, analisar cada parte dessa função vetorial separadamente usando conceitos de cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função: ln(t). A função logaritmo natural cresce sem limites conforme t aumenta. Então, limt to infty ln(t) = infty.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: t^-1, que é o mesmo que 1t. À medida que t fica cada vez maior, 1t fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Portanto, limt to infty t^-1 = 0.

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: t^2. Essa é uma função polinomial que cresce rapidamente conforme t aumenta. Assim, limt to infty t^2 = infty.

Resposta

Portanto, o limite de r(t) quando t tende ao infinito é:
limt to infty r(t) = ( infty, 0, infty )

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