Seja p igual a um inteiro positivo n em (a); mostre que
L{t^n} = n!/s^{n+1}, s > 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função , onde é um número inteiro positivo, e queremos encontrar a transformada de Laplace dessa função. Basicamente, a transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do tempo para o domínio da frequência, o que facilita resolver equações diferenciais, por exemplo. Para resolver isso, vamos precisar saber a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la em funções polinomiais como .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
No nosso caso, , então vamos substituir na fórmula:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa integral. Essa é uma integral conhecida que envolve a função exponencial e uma potência de . A integral geral é:
Mas vamos ver rapidamente por que isso acontece. A integral define a função gama, que para inteiros positivos se comporta como o fatorial. Então, para , a integral se simplifica para dividido por .

Passo 4

Então, aplicando essa relação à nossa transformada de Laplace:
Isso mostra que a transformada de Laplace de é exatamente , como queríamos demonstrar.

Resposta

A transformada de Laplace de é

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