Seja
igual a um inteiro positivo
em (a); mostre que
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
, onde
é um número inteiro positivo, e queremos encontrar a transformada de Laplace dessa função. Basicamente, a transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do tempo para o domínio da frequência, o que facilita resolver equações diferenciais, por exemplo. Para resolver isso, vamos precisar saber a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la em funções polinomiais como
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
No nosso caso,
, então vamos substituir na fórmula:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa integral. Essa é uma integral conhecida que envolve a função exponencial e uma potência de
. A integral geral é:
Mas vamos ver rapidamente por que isso acontece. A integral define a função gama, que para inteiros positivos se comporta como o fatorial. Então, para
, a integral se simplifica para
dividido por
.
Passo 4
Então, aplicando essa relação à nossa transformada de Laplace:
Isso mostra que a transformada de Laplace de
é exatamente
, como queríamos demonstrar.
Resposta
A transformada de Laplace de
é