Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
29.
29.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por partes:
Além disso, a função é periódica com período 2, ou seja,
. O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace para funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.
Passo 2
A Transformada de Laplace para uma função periódica
com período
é dada por:
Aqui,
e
tem valores diferentes em cada subintervalo de
.
Passo 3
Vamos calcular a integral
. Sabemos que:
Então, a integral se divide em duas partes:
Passo 4
Simplificando, temos:
Vamos integrar
de 0 a 1:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da Transformada de Laplace para funções periódicas:
Substituindo
:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: