Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
29. f(t) = { 1, 0 <= t < 1; 0, 1 <= t < 2 }
f(t+2) = f(t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Além disso, a função é periódica com período 2, ou seja, . O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace para funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.

Passo 2

A Transformada de Laplace para uma função periódica com período é dada por:
Aqui, e tem valores diferentes em cada subintervalo de .

Passo 3

Vamos calcular a integral . Sabemos que:
Então, a integral se divide em duas partes:

Passo 4

Simplificando, temos:
Vamos integrar de 0 a 1:

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da Transformada de Laplace para funções periódicas:
Substituindo :

Passo 6

Podemos simplificar a expressão:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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