Se
é um polinômio qualquer [portanto,
também é um polinômio
, mostre que entre duas raízes distintas de
existe pelo menos uma raiz de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um polinômio qualquer e que
e
são duas raízes distintas de
, ou seja,
com
. Como
é polinomial, ela é contínua em
e diferenciável em
. O que pedem é mostrar que existe pelo menos um ponto
tal que
O conteúdo de teoria necessário é o Teorema de Rolle.
Passo 2
Enunciamos o Teorema de Rolle: seja
uma função contínua em
, diferenciável em
e tal que
Então existe pelo menos um
com
Passo 3
Aqui tomamos
. Como
é um polinômio, de fato
satisfaz as hipóteses de Rolle em
:
-
é contínua em . -
é diferenciável em . -
.
Logo, pelo Teorema de Rolle, existetal que
Resposta
Entre duas raízes distintas
e
de
existe pelo menos um
com
.