Se f(x) é um polinômio qualquer [portanto, f^{\prime}(x) também é um polinômio ], mostre que entre duas raízes distintas de f(x) existe pelo menos uma raiz de f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado diz que f(x) é um polinômio qualquer e que a e b são duas raízes distintas de f, ou seja,
f(a)=0 \quad\text{e}\quad f(b)=0,
com a<b. Como f é polinomial, ela é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). O que pedem é mostrar que existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=0.
O conteúdo de teoria necessário é o Teorema de Rolle.

Passo 2

Enunciamos o Teorema de Rolle: seja g uma função contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e tal que
g(a)=g(b).
Então existe pelo menos um c\in(a,b) com
g'\text{(c)}=0.

Passo 3

Aqui tomamos g(x)=f(x). Como f é um polinômio, de fato f satisfaz as hipóteses de Rolle em [a,b]:
  1. f é contínua em [a,b].
  2. f é diferenciável em (a,b).
  3. f(a)=0=f(b).
    Logo, pelo Teorema de Rolle, existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=0.

Resposta

Entre duas raízes distintas a e b de f existe pelo menos um c\in(a,b) com f'\text{(c)}=0.

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