Seja f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} diferenciável e convexa, com f(a)<f(a+1). Mostre que \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável e convexa f:[a,\infty)\to\mathbb{R} e sabe que
f(a+1)>f(a).
Queremos mostrar que
\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.
Para isso usaremos dois fatos clássicos: o Teorema de Valor Médio (TVM) e a propriedade de que, se f é convexa e diferenciável, então sua derivada f' é não decrescente.

Passo 2

Aplicamos o TVM ao intervalo [a,a+1]. Assim existe c\in(a,a+1) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(a+1)-f(a)}{(a+1)-a}=f(a+1)-f(a).
Como f(a+1)-f(a)>0, definimos
k := f'\text{(c)}>0.

Passo 3

Pela convexidade de f e sua diferenciabilidade, sabemos que f' é uma função não decrescente. Logo, para todo x\ge c, vale
f'(x)\ge f'\text{(c)}=k.

Passo 4

Para x>c, escrevemos
f(x)-f\text{(c)}=\int_{c}^{x}f'(t)\,\mathrm{d}t.
Como f'(t)\ge k em [c,x], obtemos
f(x)-f\text{(c)}\ge\int_{c}^{x}k\,\mathrm{d}t = k\,(x-c).
Isto é,
f(x)\ge f\text{(c)}+k\,(x-c).

Passo 5

Como k>0, a expressão f\text{(c)}+k\,(x-c) tende a +\infty quando x\to\infty. Pelo encadeamento de desigualdades, segue
\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.

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