Seja
diferenciável e convexa, com
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável e convexa
e sabe que
Queremos mostrar que
Para isso usaremos dois fatos clássicos: o Teorema de Valor Médio (TVM) e a propriedade de que, se
é convexa e diferenciável, então sua derivada
é não decrescente.
Passo 2
Aplicamos o TVM ao intervalo
. Assim existe
tal que
Como
, definimos
Passo 3
Pela convexidade de
e sua diferenciabilidade, sabemos que
é uma função não decrescente. Logo, para todo
, vale
Passo 4
Para
, escrevemos
Como
em
, obtemos
Isto é,
Passo 5
Como
, a expressão
tende a
quando
. Pelo encadeamento de desigualdades, segue