Determinar os pontos de inflexão e fazer o estudo da concavidade das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função
Para isso vamos calcular a primeira e a segunda derivada de
, depois resolver
e analisar o sinal de
.
Passo 2
Calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia para
:
Passo 3
Calcular a segunda derivada usando a regra do quociente:
Passo 4
Encontrar onde
e verificar troca de concavidade.
Resolver
Resolver
dá
.
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de vem do numerador:
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de
- Para
, , logo e a curva é côncava para cima. - Para
, , logo e a curva é côncava para baixo.
Passo 5
Concluímos que há pontos de inflexão em
, pois aí a concavidade muda. As coordenadas são
Portanto:
- A função é côncava para baixo em
e em . - A função é côncava para cima em
.
Resposta
Pontos de inflexão:
Concavidade: