Determinar os pontos de inflexão e fazer o estudo da concavidade das seguintes funções:
f(x)=12 ln (1+x^2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função
f(x)=tfrac12lnl(1+x^2r)
Para isso vamos calcular a primeira e a segunda derivada de f, depois resolver f''(x)=0 e analisar o sinal de f''.

Passo 2

Calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia para ln(u):
f'(x) =tfrac12cdotddxl[ln(1+x^2)r] =tfrac12cdot2x1+x^2 =x1+x^2

Passo 3

Calcular a segunda derivada usando a regra do quociente:
f''(x) =(1)(1+x^2)-x(2x)(1+x^2)^2 =1+x^2-2x^2(1+x^2)^2 =1-x^2(1+x^2)^2

Passo 4

Encontrar onde f''(x)=0 e verificar troca de concavidade.
Resolver
1 - x^2(1 + x^2)^2 = 0
1 - x^2 = 0 implies x^2 = 1 implies x = pm 1.
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de f'' vem do numerador:
  • Para |x| < 1, 1 - x^2 > 0, logo f''(x) > 0 e a curva é côncava para cima.
  • Para |x| > 1, 1 - x^2 < 0, logo f''(x) < 0 e a curva é côncava para baixo.

Passo 5

Concluímos que há pontos de inflexão em x=pm1, pois aí a concavidade muda. As coordenadas são
f(1)=tfrac12ln2, f(-1)=tfrac12ln2
Portanto:
  • A função é côncava para baixo em (-infty,-1) e em (1,infty).
  • A função é côncava para cima em (-1,1).

Resposta

Pontos de inflexão:
(-1,tfrac12ln2) e (1,tfrac12ln2)
Concavidade:
côncava para cima em (-1,1), côncava para baixo em (-infty,-1)cup(1,infty) ôô

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