Uma empresa produz um produto com custo mensal dado por C(x)=x^33-2 x^2+10 x+20. Cada unidade do produto ûˋ vendida por R 31,00$. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o mûÀximo lucro mensal? Resp.: 7 unidades por mûˆs.

Passo 1

O enunciado dá o custo mensal de produção
C(x)=x^33-2x^2+10x+20
e informa que cada unidade é vendida por R$ 31,00. Queremos achar a quantidade x que maximiza o lucro mensal. Este é um problema de otimização usando derivadas.

Passo 2

Definimos o lucro mensal L(x) como a receita menos o custo. A receita é 31x, logo
L(x)=31x - C(x) =31x - l(x^33-2x^2+10x+20r) = -x^33 + 2x^2 + 21x -20

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, calculamos a primeira derivada e igualamos a zero:
L'(x) = -x^2 + 4x + 21
Resolvendo L'(x)=0:
-x^2+4x+21=0 Longrightarrow x^2-4x-21=0 Longrightarrow x=4pmraiz16+842 =4pm102
Isso dá x=7 ou x=-3. Como não faz sentido produzir quantidade negativa, ficamos com x=7.

Passo 4

Verificamos que é máximo usando a segunda derivada:
L''(x)=-2x+4,
logo
L''(7)=-2cdot7+4=-10<0,
o que confirma que x=7 é ponto de máximo para L(x).

Resposta

A empresa deve produzir e vender 7 unidades por mês para obter o máximo lucro.

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