Uma empresa produz um produto com custo mensal dado por
. Cada unidade do produto ûˋ vendida por
31,00$. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o mûÀximo lucro mensal? Resp.: 7 unidades por mûˆs.
Passo 1
O enunciado dá o custo mensal de produção
e informa que cada unidade é vendida por R$
. Queremos achar a quantidade
que maximiza o lucro mensal. Este é um problema de otimização usando derivadas.
Passo 2
Definimos o lucro mensal
como a receita menos o custo. A receita é
, logo
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, calculamos a primeira derivada e igualamos a zero:
Resolvendo
:
Isso dá
ou
. Como não faz sentido produzir quantidade negativa, ficamos com
.
Passo 4
Verificamos que é máximo usando a segunda derivada:
logo
o que confirma que
é ponto de máximo para
.
Resposta
A empresa deve produzir e vender
unidades por mês para obter o máximo lucro.