Use a transformada de Laplace a expresse a solucao dos problemas como uma integral
y^prime prime+k^2 y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y'' + k^2 y = g(t),
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
O conteúdo é solução de EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes via transformada de Laplace, e precisaremos usar as fórmulas
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
Lg(t)=G(s) e o teorema da convolução.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo, obtemos
Ly''+Lk^2y=Lg(t) Longrightarrow l(s^2Y(s)-1r)+k^2Y(s)=G(s)
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(s^2+k^2),Y(s)-1 = G(s) Longrightarrow Y(s) = 1s^2+k^2 ;+;G(s)s^2+k^2

Passo 3

O primeiro termo inverte-se diretamente pela transformada conhecida
L^-1ltfrac1s^2+k^2r =1ksin(k,t)

Passo 4

O segundo termo é invertido usando o teorema da convolução:
L^-1ltfracG(s)s^2+k^2r =integral0^tg(tau),L^-1ltfrac1s^2+k^2r(t-tau),dtau =1kintegral0^tg(tau),sinl(k,(t-tau)r),dtau

Resposta

y(t) =1k,sin(k,t) ;+;1kintegral0^tg(tau),sinl(k,(t-tau)r),dtau

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