Determinar os pontos de inflexão e fazer o estudo da concavidade das seguintes funções:
(d)
Resp:
(d)
Passo 1
O exercício pede para achar os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função
. Vamos usar derivadas até a segunda para identificar onde a concavidade muda.
Passo 2
Para começar, calculamos a primeira e a segunda derivadas usando a regra do poder (
):
Passo 3
Em seguida, encontramos os candidatos a ponto de inflexão resolvendo
:
Passo 4
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de
em cada intervalo:
- Se
, por exemplo , , então é côncava para baixo. - Se
, por exemplo , , então é côncava para cima. - Se
, por exemplo , , então é côncava para baixo.
Passo 5
Como em
a segunda derivada muda de sinal, esses valores são pontos de inflexão.
Passo 6
Portanto, os pontos de inflexão são em
, e a concavidade é: côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
Resposta
Pontos de inflexão em x = ±\tfrac{\sqrt{3}}{3}; concavidade côncava para cima em (-\tfrac{\sqrt{3}}{3},,\tfrac{\sqrt{3}}{3}) e côncava para baixo em (-∞,-\tfrac{\sqrt{3}}{3}) ∪ (\tfrac{\sqrt{3}}{3},∞).