Determinar os pontos de inflexão e fazer o estudo da concavidade das seguintes funções:
(d) f(x)=-x^4+2 x^2 Resp: x= pm raiz33

Passo 1

O exercício pede para achar os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função f(x)=-x^4+2x^2. Vamos usar derivadas até a segunda para identificar onde a concavidade muda.

Passo 2

Para começar, calculamos a primeira e a segunda derivadas usando a regra do poder ( ddxx^n = n x^n-1):
f'(x) = ddx(-x^4+2x^2) = -4x^3 + 4x
f''(x) = ddx(-4x^3+4x) = -12x^2 + 4

Passo 3

Em seguida, encontramos os candidatos a ponto de inflexão resolvendo f''(x)=0:
-12x^2 + 4 = 0 Longrightarrow x^2 = 412 = 13 Longrightarrow x = pm 1raiz3 = pm raiz33

Passo 4

Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de f''(x)=-12x^2+4 em cada intervalo:
  • Se x < -tfracraiz33, por exemplo x=-1, f''(-1)=-12+4=-8<0, então é côncava para baixo.
  • Se -tfracraiz33 < x < tfracraiz33, por exemplo x=0, f''(0)=4>0, então é côncava para cima.
  • Se x > tfracraiz33, por exemplo x=1, f''(1)=-8<0, então é côncava para baixo.

Passo 5

Como em x=pmtfracraiz33 a segunda derivada muda de sinal, esses valores são pontos de inflexão.

Passo 6

Portanto, os pontos de inflexão são em x=pmtfracraiz33, e a concavidade é: côncava para cima em (-tfracraiz33,,tfracraiz33) e côncava para baixo em ( -infty, -tfracraiz33 ) cup ( tfracraiz33, +infty ).

Resposta

Pontos de inflexão em x = ±\tfrac{\sqrt{3}}{3}; concavidade côncava para cima em (-\tfrac{\sqrt{3}}{3},,\tfrac{\sqrt{3}}{3}) e côncava para baixo em (-∞,-\tfrac{\sqrt{3}}{3}) ∪ (\tfrac{\sqrt{3}}{3},∞).

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