Encontre a solução das seguintes equações de Euler, considerando os dados inicias.
b) l x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0 y(-1)=2, y^prime(-1)=3

Passo 1

Vamos resolver a equação de Euler (Cauchy–Euler) dada por
x^2y''-3x y'+4y=0,
com as condições iniciais y(-1)=2 e y’(-1)=3. Para isso, vamos usar o método de suposição y=x^r, montar a equação característica, obter a solução geral e depois encaixar as condições iniciais.

Passo 2

Na abordagem de equação de Euler, supomos uma solução do tipo y=x^r. Assim:
y=x^r, y'=r x^r-1, y''=r(r-1)x^r-2
Substituindo na equação:
x^2igl[r(r-1)x^r-2r]-3xl[r x^r-1r]+4x^r=0 
que fica
[r(r-1)-3r+4]x^r=0
logo a equação característica é
r^2-4r+4=0

Passo 3

A equação r^2-4r+4=0 tem raízes r=2 (duas vezes). Para raiz dupla, a solução geral da equação de Euler é
y(x)=C1 x^2 + C2 x^2, ln|x|

Passo 4

Agora usamos y(-1)=2 e y’(-1)=3 para determinar C_1 e C_2. Primeiro,
y(-1)=C1(-1)^2 + C2(-1)^2,ln|-1|=C1+0=2
então C_1=2. Em seguida, derivamos
y'=2x(C1 + C2ln|x|)+C2 x
e avaliamos em x=-1:
y'(-1)=2(-1)(2+0)+C2(-1)=-4- C2=3
logo C_2=-7.

Resposta

y(x)=x^2l(2-7ln|x|r)

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