Encontre a solução das seguintes equações de Euler, considerando os dados inicias.
Passo 1
Vamos resolver a equação de Euler (Cauchy–Euler) dada por
com as condições iniciais y(-1)=2 e y’(-1)=3. Para isso, vamos usar o método de suposição y=x^r, montar a equação característica, obter a solução geral e depois encaixar as condições iniciais.
Passo 2
Na abordagem de equação de Euler, supomos uma solução do tipo y=x^r. Assim:
Substituindo na equação:
que fica
logo a equação característica é
Passo 3
A equação r^2-4r+4=0 tem raízes r=2 (duas vezes). Para raiz dupla, a solução geral da equação de Euler é
Passo 4
Agora usamos y(-1)=2 e y’(-1)=3 para determinar C_1 e C_2. Primeiro,
então C_1=2. Em seguida, derivamos
e avaliamos em x=-1:
logo C_2=-7.