Esboçe o gráfico das seguintes funçōes.
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1.
O conteúdo envolvido é estudo de funções polinomiais de grau 3, usando derivadas para encontrar interceptos, pontos críticos (máximo e mínimo locais), ponto de inflexão, intervalos de monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Vamos achar os interceptos com os eixos:
– Intercepto em y: basta x=0,
f(0)=0^{3}-6\cdot0^{2}+9\cdot0+1=1,
logo passa por (0,1).
– Intercepto em x: resolvemos
x^{3}-6x^{2}+9x+1=0.
Pelo teste de raízes racionais ( \pm1) não há raiz exata, mas como
f(-1)=-1-6-9+1=-15<0,\quad f(0)=1>0,
existe uma raiz única em (-1,0). Aproximando por busca linear, obtemos
x_{0}\approx -0,104,
isto é, intercepto em \bigl(-0,104,\,0\bigr).

Passo 3

Derivada primeira e pontos críticos:
f'(x)=3x^{2}-12x+9=3\bigl(x^{2}-4x+3\bigr)=3(x-1)(x-3).
As soluções f'(x)=0 são x=1 e x=3.
Calculando os valores:
f(1)=1-6+9+1=5,\quad f(3)=27-54+27+1=1.
Para classificar, usamos a segunda derivada no ponto:
f''(x)=6x-12.
– Em x=1, f''(1)=6-12=-6<0, logo é máximo local em (1,5).
– Em x=3, f''(3)=18-12=6>0, logo é mínimo local em (3,1).

Passo 4

Ponto de inflexão vem de f''(x)=0,
6x-12=0\implies x=2,\quad f(2)=8-24+18+1=3.
Então há inflexão em \bigl(2,3\bigr).

Passo 5

Intervalos de monotonicidade e concavidade:
f'(x)>0 para x<1 e para x>3: função crescente em (-\infty,1)\cup(3,\infty).
f'(x)<0 em (1,3): função decrescente nesse intervalo.
f''(x)<0 para x<2: concava para baixo até x=2.
f''(x)>0 para x>2: concava para cima depois de x=2.

Passo 6

Com esses pontos-chave fazemos o esboço:
– Para x\to-\infty, f(x)\to -\infty.
– Cruza o eixo x em \bigl(-0,104,0\bigr), cruza o eixo y em (0,1).
– Sobe até o máximo local em (1,5), depois desce passando pela inflexão em (2,3) até o mínimo em (3,1).
– Finalmente cresce para f(x)\to+\infty quando x\to+\infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1 é um “S” invertido até x=2 (concavidade para baixo), com máximo em (1,5), depois “S” normal (concavidade para cima) com mínimo em (3,1). Interceptos em \bigl(-0,104,0\bigr) e (0,1). Qualitativamente, ele parte de -\infty, sobe, desce, e volta a subir até +\infty.

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