Esboçe o gráfico das seguintes funçōes.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
O conteúdo envolvido é estudo de funções polinomiais de grau 3, usando derivadas para encontrar interceptos, pontos críticos (máximo e mínimo locais), ponto de inflexão, intervalos de monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Vamos achar os interceptos com os eixos:
– Intercepto em : basta
,
– Intercepto em
logo passa por
.
– Intercepto em : resolvemos
– Intercepto em
Pelo teste de raízes racionais (
) não há raiz exata, mas como
existe uma raiz única em
. Aproximando por busca linear, obtemos
isto é, intercepto em
.
Passo 3
Derivada primeira e pontos críticos:
As soluções
são
e
.
Calculando os valores:
Calculando os valores:
Para classificar, usamos a segunda derivada no ponto:
– Em
,
, logo é máximo local em
.
– Em ,
, logo é mínimo local em
.
– Em
Passo 4
Ponto de inflexão vem de
,
Então há inflexão em
.
Passo 5
Intervalos de monotonicidade e concavidade:
– para
e para
: função crescente em
.
– em
: função decrescente nesse intervalo.
– para
: concava para baixo até
.
– para
: concava para cima depois de
.
–
–
–
–
Passo 6
Com esses pontos-chave fazemos o esboço:
– Para ,
.
– Cruza o eixo em
, cruza o eixo
em
.
– Sobe até o máximo local em , depois desce passando pela inflexão em
até o mínimo em
.
– Finalmente cresce para quando
.
– Para
– Cruza o eixo
– Sobe até o máximo local em
– Finalmente cresce para
Resposta
O gráfico de
é um “S” invertido até
(concavidade para baixo), com máximo em
, depois “S” normal (concavidade para cima) com mínimo em
. Interceptos em
e
. Qualitativamente, ele parte de
, sobe, desce, e volta a subir até
.