Esboçe o gráfico das seguintes funçōes.
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
O que vamos precisar é
- Encontrar os interceptos com os eixos,
- Determinar os pontos críticos (máximos e mínimos locais) via derivada,
- Verificar a concavidade e o ponto de inflexão,
- Analisar o comportamento para
,
e então montar o esboço.
Passo 2
Intercepto com o eixo
: basta avaliar
.
logo o ponto
é o intercepto em
.
Interceptos com o eixo : resolvemos
.
Testando valores inteiros vemos que não há raízes exatas em .
Usando método de aproximação (ou gráfico rápido), encontra-se uma raiz real em torno de .
Interceptos com o eixo
Testando valores inteiros vemos que não há raízes exatas em
Usando método de aproximação (ou gráfico rápido), encontra-se uma raiz real em torno de
Passo 3
Derivada primeira:
Para achar pontos críticos, resolvemos
o que dá
Avaliaremos
para classificar:
Em
,
, logo há um máximo local em
Em
,
, logo há um mínimo local em
Passo 4
Ponto de inflexão vem de
, ou seja
O ponto de inflexão é
Comportamento nas infinitudes:
Passo 5
Agora juntamos tudo no esboço:
– Para ,
.
– Corte em .
– Sobe até o máximo local em .
– Desce até o mínimo local em .
– Passa pelo ponto de inflexão em .
– Depois cresce indefinidamente.
– Para
– Corte em
– Sobe até o máximo local em
– Desce até o mínimo local em
– Passa pelo ponto de inflexão em
– Depois cresce indefinidamente.
Resposta
O esboço deve mostrar uma curva cúbica que:
(1) entra vindo de baixo à esquerda, corta o eixo em
,
(2) atinge máximo local em ,
(3) desce até o mínimo local em ,
(4) passa pelo ponto de inflexão em ,
(5) e segue subindo para à direita.
(1) entra vindo de baixo à esquerda, corta o eixo
(2) atinge máximo local em
(3) desce até o mínimo local em
(4) passa pelo ponto de inflexão em
(5) e segue subindo para