Determinar os pontos de interseção da elipse
com a parábola

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar todos os pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente a “elipse”
x^220-y^25=1
e a parábola
y^2=3x
O conteúdo aqui é resolver um sistema de equações, usando substituição de y^2 da parábola na equação da outra curva.

Passo 2

Da parábola temos
y^2=3x
Isso nos permite eliminar y^2 na outra equação. Substituindo em
x^220-y^25=1
vem
x^220-3x5=1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 20 para limpar denominadores, obtemos
x^2-12x=20
ou seja
x^2-12x-20=0
Essa é uma equação quadrática padrão.

Passo 4

Resolvendo
x^2-12x-20=0
pela fórmula de Bhaskara,
x=12pmraiz(-12)^2-4cdot1cdot(-20)2 =12pmraiz144+802 =12pmraiz2242 =12pm4raiz142 =6pm2raiz14

Passo 5

Agora, para cada valor de x achado, encontramos y via y^2=3x. Assim:
  • Se x=6+2raiz14, então
y^2=3l(6+2raiz14r)=18+6raiz14,
logo
y=pmraiz18+6raiz14
  • Se x=6-2raiz14, então
y^2=3l(6-2raiz14r)=18-6raiz14,
logo
y=pmraiz18-6raiz14

Resposta

Os pontos de interseção são
l(6+2raiz14,;pmraiz18+6raiz14r) e l(6-2raiz14,;pmraiz18-6raiz14r)

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