O raio focal de um ponto Q da parábola P é a distância de Q ao foco F de P.
(a) Mostre que o raio focal do ponto Q=(q1, q2) da parábola P: y^2=4 p x é q1+p.
(b) Calcule o raio focal do ponto M de ordenada 6 da parábola P: y^2=12 x.

Passo 1

O enunciado trata do raio focal de um ponto Q=(q1,q2) na parábola P:y^2=4p x. O raio focal é definido como a distância de Q ao foco F de P. Para resolver vamos precisar do foco da parábola e da fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

O foco de P:y^2=4p x é
F=(p,0)
Logo, a distância de Q=(q1,q2) a F é
r=raiz(q1-p)^2+q2^2

Passo 3

Como Q pertence à parábola, temos q2^2=4p,q1. Substituindo em r^2:
r^2=(q1-p)^2+q2^2=(q1-p)^2+4p,q1 =q1^2-2p,q1+p^2+4p,q1 =q1^2+2p,q1+p^2=(q1+p)^2
Como r>0, segue
r=q1+p

Passo 4

Na parábola y^2=12x temos 4p=12, logo p=3. Para o ponto M de ordenada 6, a abscissa satisfaz
x=6^212=3,
isto é, M=(3,6). O raio focal em M é
r=q1+p=3+3=6

Resposta

(a) q1+p
(b) 6

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