Prove que se vn in[v1, v2, ldots, vn-1] então [v1, v2, ldots, vn]=[v1, v2, ldots, vn-1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que se o vetor vn está dentro do conjunto de todos os vetores formados por v1, v2, ldots, vn-1, então o espaço gerado por v1, v2, ldots, vn é igual ao espaço gerado apenas por v1, v2, ldots, vn-1.
Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de espaço vetorial gerado por um conjunto de vetores, também conhecido como espaço gerado ou span. O span de um conjunto de vetores é todas as combinações lineares possíveis desses vetores. A ideia aqui é mostrar que adicionar vn não aumenta o espaço se vn já pode ser escrito como uma combinação dos vetores anteriores.

Passo 2

Primeiro, vamos formalizar o que significa vn in [v1, v2, ldots, vn-1]. Isso quer dizer que existe uma combinação linear dos vetores v1, v2, ldots, vn-1 que resulta em vn. Ou seja, podemos escrever:
vn = a1v1 + a2v2 + dots + an-1vn-1
onde a1, a2, ldots, an-1 são escalares (números reais, por exemplo).

Passo 3

Agora, vamos considerar o espaço gerado por v1, v2, ldots, vn, que é todas as combinações lineares desses vetores:
[v1, v2, ldots, vn] = b1v1 + b2v2 + dots + bnvn mid b1, b2, ldots, bn in R
Mas, como sabemos que vn pode ser escrito como uma combinação dos anteriores, podemos substituir vn nessa expressão:
b1v1 + b2v2 + dots + bnvn = b1v1 + b2v2 + dots + bn(a1v1 + a2v2 + dots + an-1vn-1))

Passo 4

Vamos distribuir o bn na expressão:
= b1v1 + b2v2 + dots + bna1v1 + bna2v2 + dots + bnan-1vn-1
Agora, podemos agrupar os termos que têm o mesmo vetor:
= (b1 + bna1)v1 + (b2 + bna2)v2 + dots + (bn-1 + bnan-1)vn-1

Passo 5

Observamos que cada coeficiente de v1, v2, ldots, vn-1 é uma combinação linear dos bi. Isso significa que qualquer combinação linear que envolva vn pode ser reescrita usando apenas v1, v2, ldots, vn-1.
Portanto, todo vetor no espaço [v1, v2, ldots, vn] já está contido em [v1, v2, ldots, vn-1]. Além disso, o contrário também é verdadeiro porque [v1, v2, ldots, vn-1] está obviamente contido em [v1, v2, ldots, vn] (já que estamos adicionando mais um vetor ao conjunto).

Resposta

Assim, mostramos que [v1, v2, ldots, vn] = [v1, v2, ldots, vn-1] quando vn está no espaço gerado por v1, v2, ldots, vn-1. Ou seja, adicionar vn não muda o espaço gerado se ele já pode ser expresso como uma combinação dos vetores anteriores.

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