Prove que se
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que se o vetor
está dentro do conjunto de todos os vetores formados por
, então o espaço gerado por
é igual ao espaço gerado apenas por
.
Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de espaço vetorial gerado por um conjunto de vetores, também conhecido como espaço gerado ou span. O span de um conjunto de vetores é todas as combinações lineares possíveis desses vetores. A ideia aqui é mostrar que adicionar
não aumenta o espaço se
já pode ser escrito como uma combinação dos vetores anteriores.
Passo 2
Primeiro, vamos formalizar o que significa
. Isso quer dizer que existe uma combinação linear dos vetores
que resulta em
. Ou seja, podemos escrever:
onde
são escalares (números reais, por exemplo).
Passo 3
Agora, vamos considerar o espaço gerado por
, que é todas as combinações lineares desses vetores:
Mas, como sabemos que
pode ser escrito como uma combinação dos anteriores, podemos substituir
nessa expressão:
Passo 4
Vamos distribuir o
na expressão:
Agora, podemos agrupar os termos que têm o mesmo vetor:
Passo 5
Observamos que cada coeficiente de
é uma combinação linear dos
. Isso significa que qualquer combinação linear que envolva
pode ser reescrita usando apenas
.
Portanto, todo vetor no espaço
já está contido em
. Além disso, o contrário também é verdadeiro porque
está obviamente contido em
(já que estamos adicionando mais um vetor ao conjunto).
Resposta
Assim, mostramos que
quando
está no espaço gerado por
. Ou seja, adicionar
não muda o espaço gerado se ele já pode ser expresso como uma combinação dos vetores anteriores.