Determinar a posição relativa das retas abaixo e sua interseção, se houver:
r1:lx=-t+2 y=-5 t+3 z=-6 t+6 e r2:cx=-3+6 s y=1+7 s z=-1+13 s (Resposta:Concorrentes,
P0=(3,8,12))

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em R^3 definidas por parâmetros t e s:
r1: x=-t+2, y=-5t+3, z=-6t+6, r2: x=-3+6s, y=1+7s, z=-1+13s
Queremos saber se elas são paralelas, concorrentes (intersectam) ou reversas (espaçadas), e, em caso de interseção, encontrar o ponto.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta:
d1 = (-1,,-5,,-6), d2 = (6,,7,,13)
Para checar paralelismo, verificamos se existe lambda tal que d1 = lambda,d2. Como
-16neq-57,
eles não são colineares, logo as retas não são paralelas.

Passo 3

Para ver se intersectam, igualamos coordenadas de r1 e r2:
-t+2 = -3+6s, -5t+3 = 1+7s, -6t+6 = -1+13s
Da primeira equação vem
-t = 6s -5 ;Longrightarrow; t = 5 - 6s
Substituindo em -5t+3 = 1+7s:
-5(5-6s)+3 = 1+7s ;Longrightarrow; 30s -22 = 7s+1 ;Longrightarrow; 23s = 23 ;Longrightarrow; s = 1,
e então t = 5 - 6cdot1 = -1.

Passo 4

Verificamos na terceira equação:
-6(-1)+6 = 6+6 = 12, -1+13cdot1 = 12,
confirma-se coerência. O ponto de interseção obtido em r1 para t=-1 (ou em r2 para s=1) é
x = -(-1)+2 = 3, y = -5(-1)+3 = 8, z = -6(-1)+6 = 12

Passo 5

Como há solução única e as direções não são paralelas, as retas são concorrentes e se intersectam exatamente em um ponto.

Resposta

Concorrentes, P0=(3,8,12).

Exercícios relacionados