Determinar a primeira derivada da seguinte função
g(x)=3^-x-4^-raizx+x(ln x)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=3^-x-4^-raizx+x(ln x)^2. Vamos usar as regras de derivação de exponenciais com base a^u (derivada a^uln acdot u'), a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Para 3^-x, seja u=-x. Temos ddx3^u=3^uln3cdot u' e u'=-1. Logo,
ddx3^-x =3^-xln3cdot(-1)=-ln3cdot3^-x

Passo 3

Para -4^-raizx, seja v=-raizx. Então ddx4^v=4^vln4cdot v' e v'=-12raizx. Como há o sinal menos à frente,
ddxl(-4^-raizxr) = -l(4^-raizxln4cdot(-tfrac12raizx)r)=+ln42raizxcdot4^-raizx

Passo 4

Para x(ln x)^2, usamos a regra do produto: se h(x)=x e k(x)=(ln x)^2, então
ddx[x(ln x)^2]=1cdot(ln x)^2 + xcdot2ln xcdot1x = (ln x)^2 +2ln x

Passo 5

Agora somamos todas as partes para obter g'(x).

Resposta

[\
g’(x) = -\ln(3)\cdot3^{-x} + \frac{\ln(4)}{2\sqrt{x}}\cdot4^{-\sqrt{x}} + (\ln x)^{2} + 2\ln x
\]

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